Question

在△ABC中，∠C=2∠B，AD為△ABC的角平分線．
（1）如圖①，當(dāng)∠C=90°，在AB上截取AE=AC，連接DE，線段AB、AC、CD的數(shù)量關(guān)系是AB=AC+CD，請給以證明；
（2）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）在AB上截取AE=AC，連接DE，證△CAD≌△EAD，推出∠AED=∠C=90°，CD=DE，求出∠BDE=∠B=45°，推出BE=DE即可；
（2）在AB上截取AE=AC，連接DE，證△CAD≌△EAD，推出∠AED=∠C=90°，CD=DE，求出∠BDE=∠B，推出BE=DE即可．

解答：（1）證明：在AB上截取AE=AC，連接DE，
∵∠C=90°，∠C=2∠B，
∴∠B=45°，
∵AD為△ABC的角平分線，
∴∠CAD=∠EAD，
在△CAD和△EAD中

AD=AD ∠CAD=∠EAD AC=AE

∴△CAD≌△EAD，
∴∠AED=∠C=90°，CD=DE，
∵∠B=45°，
∴∠BDE=∠AED-∠B=45°=∠B，
∴BE=DE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
（2）AB=AC+CD，
證明：在AB上截取AE=AC，連接DE，
∵在△CAD和△EAD中

AD=AD ∠CAD=∠EAD AC=AE

∴△CAD≌△EAD，
∴∠AED=∠C，CD=DE，
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B=∠B+∠EDB，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=DE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．

點評：本題考查了角平分線定義，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．