Question

【題目】如圖，正方形的對角線交于點O，，．

（1）在圖1中，點A與點E重合，與相交于點P，連接，求證：是等腰三角形．

（2）猜想與的位置關系，并說明理由．

（3）如圖2，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)度角（）．

①當旋轉(zhuǎn)角為30°時，判斷的形狀，并說明理由．

②在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在為等腰三角形的情況？如果存在，直接寫出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；如果不存在，直接作出判斷，不必說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析；（3）①是等邊三角形，理由見解析；②存在，旋轉(zhuǎn)的角度為或．

【解析】

（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理可得和的度數(shù)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，最后根據(jù)等腰三角形的定義即可得證；

（2）如圖（見解析），過點O作于點G，過點F作于點H，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的三線合一、直角三角形的性質(zhì)得出，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)即可得；

（3）①先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、角的和差得出，從而可得垂直平分EF，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，又根據(jù)（2）的結(jié)論、等腰三角形的三線合一可得垂直平分AB，從而可得，最后根據(jù)等量代換可得，由此即可得出結(jié)論；

②根據(jù)等腰三角形的定義，分、和，先確定點E、F的運動軌跡，從而可得為等腰三角形時，點E、F的位置，再結(jié)合①的結(jié)論，三角形全等的判定定理與性質(zhì)求解即可得．

（1），點A與點E重合，

，

四邊形ABCD是正方形

是等腰三角形；

（2），理由如下：

如圖，過點O作于點G，過點F作于點H，則

四邊形ABCD是正方形

是等腰直角三角形斜邊上的中線（等腰三角形的三線合一）

在中，

四邊形OFHG是平行四邊形

平行四邊形OFHG是矩形

；

（3）①是等邊三角形，理由如下：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：

由正方形的性質(zhì)得：，，

，即平分

是等腰三角形

垂直平分EF（等腰三角形的三線合一）

如圖，連接OE、AE，延長OE交AB于點M

由（2）可知，

是等腰三角形

垂直平分AB（等腰三角形的三線合一）

是等邊三角形；

②根據(jù)等腰三角形的定義，分以下三種情況：

（ⅰ）當時，為等腰三角形

由①可知，此時旋轉(zhuǎn)的度數(shù)

（ⅱ）當時，為等腰三角形

如圖，由題意可知，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點E、F的運動軌跡在以點D為圓心，DA長為半徑的圓上

過點O作的平行線，交圓D于點P

由①可知，

由三角形的三邊關系定理得：

則以點B為圓心，BP長為半徑畫圓，與圓D必相交于兩點，即點P、Q

即只有當點E運動至點P或點Q時，才有

當點E運動至點P時，由①可知，此時旋轉(zhuǎn)的度數(shù)

當點E運動至點Q時，連接BQ、CQ、DQ

則

由①可知，為等邊三角形，

，

在和中，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，

則此時旋轉(zhuǎn)的角度為

故此時或

（ⅲ）當時，為等腰三角形

同（ⅱ）可得：此時或

綜上，在旋轉(zhuǎn)的過程中，存在為等腰三角形的情況，此時旋轉(zhuǎn)的角度為或．