Question

如圖，⊙M的圓心M在x軸上，⊙M分別交x軸于點A、B（A在B的左邊），交y軸的正半軸于點C，弦CD∥x軸交⊙M于點D，已知A、B兩點的橫坐標分別是方程x²=4（x+3）的兩個根，
（1）求點C的坐標；
（2）求直線AD的解析式；
（3）點N是直線AD上的一個動點，求△MNB周長的最小值，并在圖中畫出△MNB周長最小時點N的位置．

Answer 1

分析：（1）解方程求出兩個根，從而得到點A、B的坐標，然后求出點M的坐標與圓的半徑，連接CM，在Rt△CMO中，利用勾股定理列式求出OC的長度，即可寫出點C的坐標；
（2）過點M作ME⊥CD，根據(jù)垂徑定理可得CD=2CE=2OM，然后得到點D的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線AD的解析式；
（3）找出點M關于直線AD的對稱點，對稱點與點B連接交AD于點N，連接MN，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，△MNB就是所要求作的周長最小的三角形，設直線AD與y軸相交于點F，連接FM，先利用直線AD的解析式求出點F的坐標，再根據(jù)勾股定理求出FM的長度，然后根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等即可得到點M的對稱點就是點C，再根據(jù)勾股定理求出BC的長度，也就是BN+MN，從而三角形的周長不難求出．

解答：解：（1）方程x²=4（x+3）整理得，
x²-4x-12=0，
即（x+2）（x-6）=0，
∴x+2=0，x-6=0，
解得x=-2，或x=6，
∴點A、B的坐標分別為：A（-2，0），B（6，0），
（-2+6）÷2=2，[6-（-2）]÷2=4，
∴點M的坐標是（2，0），⊙M的半徑是4，
連接CM，則OC=

CM2-OM2

=

42-22

=2

3

，
∴點C的坐標是（0，2

3

）；

（2）如圖1，過點M作ME⊥CD，
則CE=ED=

1

2

CD，
∵CD∥x軸，
∴ME⊥x軸，
∴四邊形OMEC是矩形，
∴CE=OM=2，
∴CD=4，
點D的坐標是（4，2

3

），
設直線AD的解析式是y=kx+b，
∴

-2k+b=0 4k+b=2 3

，
解得

k= 3 3 b= 2 3 3

，
∴直線AD的解析式是y=

3

3

x+

2 3

3

；

（3）如圖2，設直線AD與y軸的交點是F，
當x=0時，y=

3

3

×0+

2 3

3

=

2 3

3

，
∴點F的坐標是（0，

2 3

3

），
在Rt△OMF中，F(xiàn)M=

OF2+OM2

=

( 2 3 3 )2+22

=

4 3

3

，

2 3

3

+

4 3

3

=2

3

，
∴點M關于直線AD的對稱點是點C，
連接BC交直線AD于點N，連接MN，則△MNB就是所要求作的周長最小的三角形，
此時，在△OBC中，BC=

OB2+OC2

=

62+(2 3 )2

=4

3

，
△MNB周長=BN+CN+BM=BC+BM=4

3

+4，
點N的位置如圖所示．

點評：本題綜合考查一次函數(shù)的問題，利用了一元二次方程的解法，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，綜合性較強，但難度不大，仔細分析圖形并熟練掌握定理與性質(zhì)是解題的關鍵．