Question

已知一條拋物線與y軸的交點為C，頂點為D，直線CD的解析式為y=x+3，并且線段CD的長為．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線與x軸有兩個交點A（x₁，0）、B（x₂，0），且點A在點B的左側，求線段AB的長；
（3）若以AB為直徑作⊙M，請你判斷直線CD與⊙M的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分類討論：①拋物線過C（0，3），D₁（-3，0）時；②拋物線過C（0，3），D₂（3，6）時，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（2）利用（1）中的拋物線的圖象知：拋物線與x軸有兩個交點只有②；然后求得該拋物線與x軸的兩個頂點坐標A（，0）、B（，0）；最后由兩點間的距離公式來求線段AB的長；
（3）直線CD與⊙M相切．過M作MG⊥CD于G．由已知和（2）推知M（3，0），然后根據(jù)勾股定理的逆定理證得此結論．
解答：解：（1）由已知可得：C（0，3），D₁（-3，0），D₂（3，6）…2分
①拋物線過C（0，3），D₁（-3，0）時，
設y₁=a（x+3）²過（0，3）∴a=…3分
∴…4分
②拋物線過C（0，3），D₂（3，6）時
設y₂=a（x-3）²+6過（0，3）∴a=…5分
∴…6分

（2）（1）中的拋物線與x軸有兩個交點只有②…7分
即
令得
∴A（，0）、B（，0）…8分
∴|AB|=…9分
（或者不解方程，直接計算|AB|=）

（3）直線CD與⊙M相切．…10分
圖象及圖形如圖所示．過M作MG⊥CD于G，
由已知和（2）知M（3，0）∴MG=CD==…11分
∴直線CD與⊙M相切．…12分
（答案僅參考，若有不同解法，過程和解法都正確，可相應給分）
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題．解答（1）時，注意要分類討論，以防漏解．