Question

【題目】問(wèn)題提出

（1）如圖①，已知線段AB，請(qǐng)以AB為斜邊，在圖中畫(huà)出一個(gè)直角三角形；

（2）如圖②，已知點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)B、C均在直線l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC面積的最小值；

問(wèn)題解決

（3）如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m，點(diǎn)E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值?若存在，請(qǐng)求出面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）存在，72m2

【解析】

（1）構(gòu)造輔助圓，利用直徑所對(duì)圓周角為直角解決問(wèn)題即可．
（2）作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)垂線段最短得到AO+OE≥AD，從而算出BC的最大值，即可得到結(jié)果；
（3）分別延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)M，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出四邊形ABCD的面積，將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到△CDE′，得到A、D、E′三點(diǎn)共線，從而得到當(dāng)S△CE′F取得最小值時(shí)，S四邊形AECF取得最大值，以E′F為斜邊作等腰Rt△OE′F，設(shè)△CE′F的外接圓半徑為rm，求出r的取值范圍，得到當(dāng)點(diǎn)O在CD上時(shí)，E′F最短，從而可以求出四邊形AECF面積的最大值.

解：（1）如圖，Rt△ACB即為所求．

（2）如圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，

則∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=BC，

∵∠BAC=60°，

∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，

設(shè)OA=OB=OC=r，

則OE=r，BC=2BE=r，

∵AO+OE≥AD，AD=3，

∴r+r≥3，

解得r≥2，

∴BC=r≥，

∴S△ABC=BC·AD≥××3=，

∴△ABC面積的最小值為．

（3）存在；如圖，分別延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)M，

則△ADM、△CBM均為等腰直角三角形，

∵CB=CD=6m，

∴BM=6m，CM=m，AD=DM=（6+）m，

∴S四邊形ABCD

=S△ADM-S△CBM

=DM2-BC2

=×（6+）2-×62

=（36+）m2．

將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到△CDE′，

則A、D、E′三點(diǎn)共線．

∴S四邊形AECF=S四邊形ABCD–（S△CBE+S△CDF）=S四邊形ABCD–S△CE′F

∵S四邊形ABCD為定值，

∴當(dāng)S△CE′F取得最小值時(shí)，S四邊形AECF取得最大值．

∵∠E′CF=135°-90°=45°，

∴以E′F為斜邊作等腰Rt△OE′F，

則△CE′F的外接圓是以點(diǎn)O為圓心，OF長(zhǎng)為半徑的圓，

設(shè)△CE′F的外接圓半徑為rm，

∴E′F=rm，

又∵OC+OD≥CD，

∴r+r≥6，

∴r≥12-，

當(dāng)點(diǎn)O在CD上時(shí)，E′F最短，此時(shí)E′F=r=（-12）m，

∴S△CE′F最小=×（-12）×6=（-36）m2，

∴S四邊形AECF最大=S四邊形ABCD-S△CE’F最小=36+-（-36）=72m2．