Question

教材第66頁探索平方差公式時設置了如下情境：邊長為b的小正方形紙片放置在邊長為a的大正方形紙片上（如圖①），你能通過計算未蓋住部分的面積得到公式（a+b）（a-b）=a²-b²嗎？（不必證明）

（1）如果將小正方形的一邊延長（如圖②），是否也能推導公式？請完成證明．
（2）面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導或驗證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖③，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c²，也可以表示為4×

1

2

ab+（a-b）²，由此推導出重要的勾股定理：a²+b²=c²．圖④為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你完成證明．
（3）試構(gòu)造一個圖形，使它的面積能夠解釋（a-2b）²=a²-4ab+4b²，畫在下面的網(wǎng)格（圖⑤）中，并標出字母a、b所表示的線段．

Answer 1

分析：利用正方形和梯形的面積公式可知，圖中未蓋住部分的面積=（a+b）（a-b）=a²-b²．
（1）利用正方形和長方形的面積公式可知，圖中未蓋住部分的面積=a（a-b）+b（a-b）=（a+b）（a-b）=a²-b²．
（2）此直角梯形的面積有三部分組成，利用直角梯形的面積等于三個直角三角形的面積之和列出方程并整理．
（3）已知圖形面積的表達式，即可根據(jù)表達式得出圖形的邊長的表達式，即可畫出圖形．

解答：解：（1）未蓋住部分的面積為：a（a-b）+b（a-b）=（a+b）（a-b），
也可以看作a²-b²，
則（a+b）（a-b）=a²-b²；

（2）因為S_梯形=

1

2

（a+b）²=

1

2

（a²+2ab+b²），
又因為S_梯形=

1

2

ab+

1

2

ba+

1

2

c²，
所以

1

2

（a²+2ab+b²）=

1

2

（2ab+c²），

1

2

a²+ab+

1

2

b²=ab+

1

2

c²，
得c²=a²+b²．

（3）∵圖形面積為：（a-2b）²=a²-4ab+4b²，
∴邊長為=a-2b，
由此可畫出的圖形為：

點評：（1）考查了平方差公式的幾何意義，運用不同方法表示未蓋住部分面積是解題的關(guān)鍵．
（2）此類證明要轉(zhuǎn)化成同一個東西的兩種表示方法，從而轉(zhuǎn)化成方程達到證明的結(jié)果．
（3）考查了多項式的乘法的運用以及由多項式畫圖形的創(chuàng)新題型．