Question

如圖：拋物線經(jīng)過(guò)A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）已知AD＝AB（D在線段AC上），有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)；同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從點(diǎn)B沿線段BC移動(dòng)，經(jīng)過(guò)t 秒的移動(dòng)，線段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情況下，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)M，使MQ＋MC的值最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
（注：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為）

Answer 1

（1）；（2）；（3）M

試題分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)A（－3，0）、C（4，0）設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋3)(x－4)，再把B（0，4）代入即可求得結(jié)果；
（2）找到變化過(guò)程中的不變關(guān)系：△CDQ∽△CAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；
（3）因?yàn)锳、C關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以MQ+MC的最小值即為MQ+MA的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最段，A、M、Q共線時(shí)MQ+MC可取最小值．
（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋3)(x－4)
因?yàn)锽（0，4）在拋物線上，所以4＝a(0＋3)(0－4)，解得
所以拋物線解析式為 
（2）連接DQ，

在Rt△AOB中，
所以AD＝AB＝5，AC＝AD＋CD＝3＋4＝7，CD＝AC－AD＝7–5＝2
因?yàn)锽D垂直平分PQ，
所以PD＝QD，PQ⊥BD，
所以∠PDB＝∠QDB
因?yàn)锳D＝AB，
所以∠ABD＝∠ADB，∠ABD＝∠QDB，
所以DQ∥AB
所以∠CQD＝∠CBA．∠CDQ＝∠CAB，
所以△CDQ∽△CAB
所以即
所以AP＝AD–DP＝AD–DQ＝5＝，
所以t的值是；                                        
（3）對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)M，使MQ＋MC的值最小
理由：因?yàn)閽佄锞�的對(duì)稱(chēng)軸為
所以A（－3，0），C（4，0）兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)
連接AQ交直線于點(diǎn)M，則MQ＋MC的值最小
過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸于E，所以∠QED＝∠BOA＝90⁰
所以DQ∥AB，
所以∠ BAO＝∠QDE， 
所以△DQE ∽△ABO
所以，即
所以QE＝，DE＝，
所以O(shè)E＝OD＋DE＝2＋＝，所以Q（，）
設(shè)直線AQ的解析式為
則 由此得
所以直線AQ的解析式為 
由得
則在對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)M，使MQ＋MC的值最�。�
點(diǎn)評(píng)：此題將用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題和最小值問(wèn)題相結(jié)合，有較大的思維跳躍，考查了同學(xué)們的應(yīng)變能力和綜合思維能力，是一道好題．