Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm．長(zhǎng)為2cm的線段MN在△ABC的斜邊AB上沿AB方向以每秒1cm的速度向點(diǎn)B移動(dòng)（移動(dòng)前點(diǎn)M與點(diǎn)A重合），過(guò)M、N分別作AB的垂線，交直角邊于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)線段MN移動(dòng)的時(shí)間為t（秒）：
（1）若△AMP的面積為y，請(qǐng)寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）線段MN移動(dòng)過(guò)程中，四邊形MNQP能成為矩形嗎？若能，請(qǐng)求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況，點(diǎn)P可以在AC上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，利用三角函數(shù)分別用含t的代數(shù)式表示出PM，AM，再利用S_△APM=

1

2

AM•PM得出y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)PM=QN時(shí)，四邊形MNQP為矩形，建立含t的方程，求得t的值即可．

解答：解：（1）分兩種情況考慮：
（i）當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，
∵AM=t，
∴PM=AM•tan60°=

3

t，
∴y=

1

2

t•

3

t=

3

2

t²（0≤t≤2），
（ii）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，
∵PM=BM•tan30°=

3

3

（8-t），
∴y=

1

2

t•

3

3

（8-t）=-

3

6

t²+

4 3

3

t（2≤t≤6）；

（2）線段MN移動(dòng)過(guò)程中，四邊形MNQP能為矩形；理由為：
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=8cm，
∴BN=AB-AM-MN=8-t-2=6-t，
∴QN=BN•tan30°=

3

3

（6-t），
由條件知，若四邊形MNQP為矩形，需PM=QN，即

3

t=

3

3

（6-t），
解得：t=

3

2

．
則當(dāng)t=

3

2

s時(shí)，四邊形MNQP為矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題．利用了銳角三角函數(shù)的概念，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的面積公式求解，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決圖形變化的問(wèn)題．