Question

（本題滿分14分）如圖①，將邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P， 連接EP．
⑴如圖②，若M為AD邊的中點(diǎn)，①△AEM的周長(zhǎng)=____    _cm；②求證：EP=AE+DP；

⑵隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置(點(diǎn)M不與A、D重合)，△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?請(qǐng)說明理由．

Answer 1

⑴①6………………………………………………………………………………2分
②證明：取EP中點(diǎn)G，連接MG，在梯形AEPD中
∵M(jìn)、G分別為AD、EP的中點(diǎn)
∴……………………………………………………4分
由折疊，得∠EMP=∠B=90°
又G為EP的中點(diǎn)
∴MG=EP………………………………………………………………6分
∴EP="AE+DP" ……………………………………………………………7分
⑵△PDM的周長(zhǎng)保持不變 ……………………………………………………8分
證明：設(shè)AM=xcm，則DM=（4－x）cm …………………………………9分
Rt△EAM中，由
…………………………………………………10分
∵∠AME+∠AEM=90°
∠AME+∠PMD=90°
∴∠AEM=∠PMD……………………………………………………11分
又∵∠A=∠D=90°
∴△PDM∽△MAE……………………………………………………12分
∴………………………………………………………13分
即
∴……………………………………14分
∴△PDM的周長(zhǎng)保持不變．

略