Question

如圖1，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為，直線與坐標軸分別交于A、C兩點，點B的坐標為（4，1），⊙B與x軸相切于點M．
（1）求點A的坐標及∠CAO的度數；
（2）⊙B以每秒1個單位長度的速度沿x軸負方向平移，同時，若直線l繞點A順時針勻速旋轉，當⊙B第一次與⊙O相切時，直線l也恰好與⊙B第一次相切，見圖（2）求B₁的坐標以及直線AC繞點A每秒旋轉多少度？
（3）若直線l不動，⊙B沿x軸負方向平移過程中，能否與⊙O與直線l同時相切？若相切，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線的解析式，易得AC的坐標，進而可得OA、OC的關系，由三角函數的定義可得∠CAO的大小；
（2）設相切時，MN=t，易得ON，MN的值，進而可得∠AB₁O=∠NAB₁，故PA∥B₁O；
易得在Rt△NOB₁中，∠1=90°，即可得出答案；
（3）先假設能，且設⊙B與⊙O第二次相切時⊙B的圓心為B₂，作B₂E⊥AC于E．
易得四邊形B₂EHO為平行四邊形，此時⊙B與直線l同時相切．
解答：解：（1）直線．
當x=0時，y=-；當y=0，時，x=-，
所以A（，0）．
∵C（0，），
∴OA=OC，
∵OA⊥OC，
∴∠CAO=45°．

（2）如圖，設⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，
此時，直線l旋轉到l₁恰好與⊙B₁第一次相切于點P，⊙B₁與x軸相切于點N，連接B₁O，B₁N．
則MN=t，OB₁=，B₁N=1，B₁N⊥AN．
∴ON=1，
∴MN=3，即t=3．
連接B₁A，B₁P，則B₁P⊥AP，B₁P=B₁N，
∴∠PAB₁=∠NAB₁．
∵OA=OB₁=，
∴∠AB₁O=∠NAB₁．
∴∠PAB₁=∠AB₁O．
∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠1=90°．
∴直線AC繞點A平均每秒旋轉270°÷3=90°．

（3）能，設⊙B與⊙O第二次相切時⊙B的圓心為B₂，作B₂E⊥AC于E，作OH⊥AC于H．
∵△OAC為等腰直角三角形，且OA=OC=，
∴根據勾股定理得到AC=2，
又OH⊥AC，
∴OH為斜邊AC上的中線，
∴OH=AC=1，
∴OH=B₂E=1，
∵B₂E⊥l，OH⊥l，
∴B₂E∥OH，
∵四邊形B₂EHO為平行四邊形，
則B₂E=OH=1，
故此時⊙B與圓0與直線l同時相切．
點評：本題考查直線與圓的位置關系．要求學生有一定的數形結合的能力，即結合圖形分析，進行代數計算，得出答案．