Question

已知：如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3cm等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，點(diǎn)P速度為1cm/s，點(diǎn)Q的速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？
（2）△PBQ能否成為等邊三角形？若能，請(qǐng)求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以知道這個(gè)直角三角形∠B=60°，所以就可以表示出BQ與PB的關(guān)系，要分情況進(jìn)行討論：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根據(jù)BP，BQ的表達(dá)式和∠B的度數(shù)進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得方程3-t=2t，解方程求解即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得AP=tcm，BQ=2tcm，
∵在△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
在△PBQ中，BP=3-t，BQ=2t，若△PBQ是直角三角形，則
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，BQ=

1

2

BP，
即2t=

1

2

（3-t），t=0.6（秒），
當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，BP=

1

2

BQ，
3-t=

1

2

×2t，t=1.5（秒）．
答：當(dāng)t=0.6秒或t=1.5秒時(shí)，△PBQ是直角三角形．

（2）假設(shè)在點(diǎn)P與點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△BPQ能成為等邊三角形，則
BP=PQ=BQ，
即3-t=2t，
解得t=1．
故當(dāng)t=1時(shí)，△BPQ是個(gè)等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形的判定、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)．