Question

如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于點(diǎn)O，AO=CO，過(guò)項(xiàng)點(diǎn)A的直線交BD于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)Q，并交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R．
（1）△PAB與△PQD相似嗎？說(shuō)明你有理由．
（2）結(jié)論

PQ

PR

=

PD2

PB2

成立嗎，若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）若要證明△PAB與△PQD相似，可轉(zhuǎn)化為證明AB∥CD，即證明四邊形ABCD是平行四邊形即可；
（2）結(jié)論

PQ

PR

=

PD2

PB2

成立，由（1）可知四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD，所以△APB∽△QPD，△APD∽△RPB，利用相似三角形的性質(zhì)：得到關(guān)于PQ，PR，PD，PB的比例式，即可證明結(jié)論成立．

解答：解：（1）△PAB與△PQD相似，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，∠DAO=∠BCO，
∵AO=CO，
∴△AOD≌△COB，
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴△PAB∽△PQD；

（2）結(jié)論

PQ

PR

=

PD2

PB2

成立，理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴△APB∽△QPD，
∴

PQ

AP

=

PD

BP

①，
∵AD∥BC，
∴△APD∽△RPB，
∴

PR

AP

=

BP

PD

②，
∴①÷2得：

PQ

PR

=

PD2

PB2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、相似是三角形的判定和性質(zhì)以及比例式的證明，題目的技巧性很強(qiáng)．