Question

拋物線y=ax²+2ax-8a（a>0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左），與y軸交于點(diǎn)C ，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M， 點(diǎn)N為上一點(diǎn)，是以BC為斜邊的等腰直角三角形。
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）判斷∠MNB與∠ACB的大小關(guān)系，并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；
（3）求這個(gè)拋物線的解析式；
（4）在該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAC的面積與△MAC的面積相等，如果存在求點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）令y=0，即ax²+2ax-8a=0，
∵a＞0，
∴x²+2x-8=0，
解得x₁=-4，x₂=-2，
∴A（-4，0） B（2，0）；
（2） ∠MNB=∠ACB，
理由：由題知點(diǎn)N是△ABC的外心，∠ANB=2∠ACB，而∠MNB=∠ANB，
∴∠MNB=∠ACB；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥于點(diǎn)G，
∵△NBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，
∴NB=NC，∠MNB+∠CNG=90°，
∵∠NCG+∠CNG=90°，
∴∠MNB=∠NCG，
又∠BMN=∠NGC=90°，
∴△BMN≌△NGC，
∴MN=GC=1，NG=BM=3，
∴OC=4，
∴-8a=-4，
∴a=，
∴y=x²+x-4；
（4）存在，
∵△PAC的面積與△MAC的面積相等，
∴點(diǎn)P必在與直線AC平行且過(guò)點(diǎn)M（-1，0）的直線上或過(guò)點(diǎn)D（-7，0）的直線上。
①當(dāng)點(diǎn)P在l₁上時(shí)，由題l₁：y=-x-1，
∴解方程組，得，
∴P₁（-2+，1-），P₂（-2-，1+），
②當(dāng)點(diǎn)P在l₂上時(shí)，由題l₂：y=-x-7
∴得到方程組，
∵x²+x-4=-x-7方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根
∴此時(shí)點(diǎn)P不存在，
綜合①②知存在點(diǎn)P，分別是：P₁（-2+，1-） P₂（-2-，1+）。