Question

（2012•無錫）對于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），我們把|x₁-x₂|+|y₁-y₂|叫做P₁、P₂兩點(diǎn)間的直角距離，記作d（P₁，P₂）．
（1）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)P（x，y）滿足d（O，P）=1，請寫出x與y之間滿足的關(guān)系式，并在所給的直角坐標(biāo)系中畫出所有符合條件的點(diǎn)P所組成的圖形；
（2）設(shè)P₀（x₀，y₀）是一定點(diǎn)，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動點(diǎn)，我們把d（P₀，Q）的最小值叫做P₀到直線y=ax+b的直角距離．試求點(diǎn)M（2，1）到直線y=x+2的直角距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)新的運(yùn)算規(guī)則知|x|+|y|=1，據(jù)此可以畫出符合題意的圖形；
（2）根據(jù)新的運(yùn)算規(guī)則知d（M，Q）=|x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|，然后由絕對值與數(shù)軸的關(guān)系可知，|x-2|+|x+1|表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)到數(shù)2和-1所對應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，其最小值為3．

解答：解：（1）由題意，得|x|+|y|=1，
∵d（O，P）=1，O（0，0），P（x，y）
∴d（0，P）=|x|+|y|
∴|x|+|y|=1
①x≥0，y≥0
∴x+y=1
y=1-x
②x≤0，y≤0
∴-x-y=1
y=-x-1
③x≥0，y≤0
∴x-y=1
y=x-1
④x≤0，y≥0
∴-x+y=1
y=1+x
將四個函數(shù)關(guān)系式表示在數(shù)軸上，所有符合條件的點(diǎn)P組成的圖形如圖所示：
   
（2）∵d（M，Q）=|x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|，
又∵x可取一切實(shí)數(shù)，|x-2|+|x+1|表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)到數(shù)2和-1所對應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，其最小值為3．
∴點(diǎn)M（2，1）到直線y=x+2的直角距離為3．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．正確理解新定義運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．