Question

OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=10，OC=6．
（1）如圖1，在OA上選取一點G，將△COG沿CG翻折，使點O落在BC邊上，記為E，求折痕y₁所在直線的解析式；
（2）如圖2，在OC上選取一點D，將△AOD沿AD翻折，使點O落在BC邊上，記為E'．
①求折痕AD所在直線的解析式；
②再作E'F∥AB，交AD于點F．若拋物線y=-

1

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x²+h過點F，求此拋物線的解析式，并判斷它與直線AD的交點的個數(shù)．
（3）如圖3，一般地，在OC、OA上選取適當?shù)狞cD'、G'，使紙片沿D'G'翻折后，點O落在BC邊上，記為E''．請你猜想：折痕D'G'所在直線與②中的拋物線會有什么關(guān)系？用（1）中的情形驗證你的猜想．

Answer 1

（1）由折疊法知，四邊形OCEG是正方形，
∴OG=OC=6，
∴G（6，0），C（0，6）．
設直線CG的解析式為y=kx+b，
則0=6k+b，6=0+b，
∴k=-1，b=6，
∴直線CG的解析式為：y=-x+6．

（2）①在Rt△ABE'中，BE'=

102-62

=8，
∴CE′=2．
設OD=s，則DE'=s，CD=6-s，
在Rt△DCE'中，s²=（6-s）²+2²，
∴s=

10

3

．
則D（0，

10

3

）
設AD：y=k'x+

10

3

，
由于它過A（10，0），
∴k'=-

1

3

，
∴AD：y=-

1

3

x+

10

3

．
②∵E'F∥AB，E'（2，6），
∴設F（2，y_F），
∵F在AD上，
∴y_F=-

1

3

×2+

10

3

=

8

3

，
∴F（2，

8

3

）．
又∵點F在拋物線y=-

1

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x²+h上，
∴

8

3

=-

1

12

×4+h，
∴h=3．
∴拋物線的解析式為：y=-

1

12

x²+3．
即-

1

12

x²+

1

3

x-

1

3

=0，
∵△=（

1

3

）²-4×（-

1

12

）×（-

1

3

）=0
∴直線AD與拋物線只有一個交點．

（3）例如可以猜想：
（�。┱酆鬯�在直線與拋物線y=-

1

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x²+3只有一個交點；
或（ⅱ）若作E''F''∥AB，交D'G'于F'，則F'在拋物線y=-

1

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x²+3上．
驗證：（�。┰趫D1中，折痕為CG，
將y=-x+6代入y=-

1

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x²+3，
得-

1

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x²+x-3=0．
∵△=1-4×（-3）×（-

1

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）=0，
∴折痕CG所在直線的確與拋物線y=-

1

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x²+3只有一個交點．
或（ⅱ）在圖1中，D'即C，E''即E，G'即G，交點F'也為G（6，0），
∴當x=6時，y=-

1

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x²+3=-

1

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×6²+3=0，
∴G點在這條拋物線上．