Question

如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)在拋物線上，
∴，解得。
∴拋物線的解析式為：。
（2）∵，∴其對(duì)稱軸為直線x=2。
連接BC，如圖1所示，

∵B（5，0），C（0，），
∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
，解得：。
∴直線BC的解析式為。
當(dāng)x=2時(shí)，，
∴P（2，）。
（3）存在。
如圖2所示，

①當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，C（0，），
∴N₁（4，）。
②當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，
如圖2，過(guò)點(diǎn)N作ND⊥x軸于點(diǎn)D，
在△AND與△MCO中，，
∴△AND≌△MCO（ASA）。
∴ND=OC=，即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為。
∴，解得或。
∴N₂（，），N₃（，）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，），（，）或（，）

解析試題分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)代入求出a、b、c的值即可。
（2）因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），連接BC交對(duì)稱軸直線于點(diǎn)P，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可。
（3）分點(diǎn)N在x軸下方或上方兩種情況進(jìn)行討論。