Question

如圖，Rt△ABC中，∠CAB=90°，以AB為直徑作⊙O交BC于D，PD是⊙O的切線．若AM為⊙O的弦，連接PM，若AB=AC=4，AM=2，試在⊙O上標(biāo)出點(diǎn)M并求PM長．

Answer 1

分析：作∠AOM=60°，使OM交于M，則AM=2，即M為所求，連接PM，作MH⊥AC于H，連接OD，利用直角三角形的性質(zhì)和圓的切線性質(zhì)和切線長定理即可判定四邊形PDOA為正方形，所以AP=AO=2，再利用勾股定理即可求出PM的值．

解答：解：∵AB=AC=4，以AB為直徑作⊙O，
∴A0=OM=2，
∵∠AOM=60°，
∴△AOM為等邊三角形，
∴AO=AM=2，
連接PM，作MH⊥AC于H，連接OD
∵PD是⊙O的切線，
∴∠PDO=90°，
∵∠CAB=90°，
∵AC是圓的切線，
∴PD=PA，
∵AO=DO，
∴四邊形AODP是正方形，
∴AO=AP=2，
∵∠MAO=60°，
∴∠PAM=90°-60°=30°，
∴MH=

1

2

AM=1，
∴AH=

3

，
∴PH=2-

3

，
∴PM=

PH 2+HM 2

=

(2- 3 )2+12

=2

2- 3

．
如圖，PH=2+

3

，
HM=1，
PM=

PH 2+HM 2

=

(2+ 3 )2+12

=2

2+ 3

．
故PM長為2

2- 3

或2

2+ 3

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了等邊三角形的判定和等邊三角形的性質(zhì)、圓的切線的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半和勾股定理的運(yùn)用，題目的難度不�。�