Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于點D，且BD=8cm．點M從點A出發(fā)，沿AC的方向勻速運動，速度為2cm/s；同時直線PQ由點B出發(fā)，沿BA的方向勻速運動，速度為1cm/s，運動過程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F．連接PM，設運動時間為ts（0＜t＜5）．
（1）當t為何值時，四邊形PQCM是平行四邊形？
（2）設四邊形PQCM的面積為ycm²，求y與t之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻t，使S_{四邊形PQCM}=

9

16

S_△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；
（4）連接PC，是否存在某一時刻t，使點M在線段PC的垂直平分線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）假設PQCM為平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到對邊平行，進而得到AP=AM，列出關于t的方程，求出方程的解得到滿足題意t的值；
（2）根據PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根據相似三角形的形狀必然相同可知三角形BPQ也為等腰三角形，即BP=PQ=t，再由證得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代數式就可以表示出BF，進而得到梯形的高PE=DF=8-t，又點M的運動速度和時間可知點M走過的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根據梯形的面積公式即可得到y(tǒng)與t的關系式；
（3）根據三角形的面積公式，先求出三角形ABC的面積，又根據S_{四邊形PQCM}=

9

16

S_△ABC，求出四邊形PQCM的面積，從而得到了y的值，代入第二問求出的y與t的解析式中求出t的值即可；
（4）假設存在，則根據垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等即可得到MP=MC，過點M作MH垂直AB，由一對公共角的相等和一對直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到對應邊成比例進而用含t的代數式表示出AH和HM的長，再由AP的長減AH的長表示出PH的長，從而在直角三角形PHM中根據勾股定理表示出MP的平方，再由AC的長減AM的長表示出MC的平方，根據兩者的相等列出關于t的方程進而求出t的值．

解答：解：（1）假設四邊形PQCM是平行四邊形，則PM∥QC，
∴AP：AB=AM：AC，
∵AB=AC，
∴AP=AM，即10-t=2t，
解得t=

10

3

，
∴當t=

10

3

s時，四邊形PQCM是平行四邊形；

（2）∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ為等腰三角形，PQ=PB=t，
∴

BF

BD

=

BP

BA

，即

BF

8

=

t

10

，
解得BF=

4

5

t，
∴FD=BD-BF=8-

4

5

t，
又∵MC=AC-AM=10-2t，
∴y=

1

2

（PQ+MC）•FD=

1

2

（t+10-2t）（8-

4

5

t）=

2

5

t²-8t+40；

（3）S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×10×8=40，
當y=

9

16

S_△ABC=

9

16

×40=

45

2

時，
即

2

5

t²-8t+40=

45

2

，
解得：t₁=

5

2

，t₂=

35

2

（舍去）；

（4）假設存在某一時刻t，使得M在線段PC的垂直平分線上，則MP=MC，
過M作MH⊥AB，交AB與H，
∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴

HM

BD

=

AH

AD

=

AM

AB

，又AD=

102-82

=6，
∴

HM

8

=

AH

6

=

2t

10

，
∴HM=

8

5

t，AH=

6

5

t，
即HP=10-t-

6

5

t=10-

11

5

t，
在直角三角形HMP中，MP²=(

8

5

t)2+(10-

11

5

t)2=

37

5

t²-44t+100，
又∵MC²=（10-2t）²=100-40t+4t²，
∵MP²=MC²，
即

37

5

t²-44t+100=100-40t+4t²，
解得：t₁=

20

17

，t₂=0（舍去），
∴t=

20

17

s時點M在線段PC的垂直平分線上．

點評：本題綜合考查了平行四邊形的性質，三角形相似的判定與性質，垂直平分線的性質以及勾股定理的應用．第二問的解題關鍵是根據相似三角形的高之比等于對應邊之比得出比例，進而求出關系式，第三問和第四問都屬于探究性試題，需要采用“逆向思維”，都應先假設存在這樣的情況，從假設出發(fā)作為已知條件，尋找必要條件，從而達到解題的目的．