Question

如圖，以△ABC的邊AB為直徑畫圓，與邊AC交于M，與邊BC交于N，已知△ABC的面積是△CMN面積的4倍，△ABC中有一個內(nèi)角度數(shù)是另一內(nèi)角度數(shù)的2倍，試計算△ABC三個內(nèi)角的度數(shù)：

 

．

Answer 1

分析：連接BM，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，∠CNM=∠CAB=∠CAB，可證△CNM∽△CAB，又△ABC的面積是△CMN面積的4倍，可知相似比

CM

CB

=

1

2

，而AB為直徑，∠BMC=90°，則∠C=60°，∠A+∠B=120°，由∠A=2∠B或∠B=2∠A，分類求解．

解答：解：如圖：連接BM，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，∠CNM=∠CAB，∠CMN=∠CBA，
∴△CNM∽△CAB，又△ABC的面積是△CMN面積的4倍，可知相似比

CM

CB

=

1

2

，
AB為直徑，∠BMC=90°，
則∠C=60°，∠A+∠B=120°，
由∠A=2∠B或∠B=2∠A可得△ABC三個內(nèi)角的度數(shù)，
∠A=80°，∠B=40°，∠C=60°或∠A=40°，∠B=80°，∠C=60°．

點評：本題主要涉及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似比與面積比的關(guān)系．