Question

如圖，OB是矩形OABC的對角線，拋物線y＝-x＋x＋6經(jīng)過B、C兩點(diǎn)。
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）D、E分別是OC、OB上的點(diǎn)，OD＝5，OE＝2EB，過D、E的直線交x軸于F，試說明OE⊥ DF；
（3）若點(diǎn)M是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N，使以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)x＝0，則y＝6，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），
又矩形OABC，則BC∥x軸，
∴拋物線y＝-x²＋x＋6過B、C兩點(diǎn)，
則B、C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸x＝對稱，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，6）；
（2）如圖1，作EG⊥x軸于點(diǎn)G，則EG//BA，
∴△OEG∽△OBH，，
又∵OE＝2EB，          
∴，∴，∴OG＝2，EG＝4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4），
又∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，5)，
設(shè)直線DE的解析式為y＝kx+b，
則，
解得k＝-，b＝5。
∴直線DE的解析式為：y＝-x+5，
設(shè)y＝0，則x＝10，則OF＝10，GF＝OF-OG＝8，
∴，又∠OGE＝∠EGF＝90°，
∴△OGE∽△EGF，
∴∠EOG＝∠FEG，
∴∠FEO＝∠FEG＋∠OEG＝∠EOG＋∠OEG＝90°；
（3）答：存在。
①如圖1，當(dāng)OD＝DM＝MN＝NO＝5時(shí)，四邊形ODMN為菱形。
作MP⊥y軸于點(diǎn)P，則MP//x軸，
∴△MPD∽△FOD，
∴，
又∵OF＝10，
在Rt△ODF中，F(xiàn)D＝＝＝，  
∴，
∴MP＝，PD＝，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-，5+），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-，）。

②如圖2，當(dāng)OD＝DN＝NM＝MO＝5時(shí)，四邊形ODNM為菱形。
延長NM交x軸于點(diǎn)P，則 MP⊥x軸。
∵點(diǎn)M在直線y＝-x+5上，
∴設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為  (a，-a+5)，
在Rt△OPM中，OP²+PM²＝OM²，  
∴a²+(-a+5)²＝5²，解得a₁＝4，a₂＝0(舍去)，  
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，3)，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4，8)。

③如圖3，當(dāng)OM＝MD＝DN＝NO時(shí)，四邊形OMDN為菱形。
連接NM，交OD于點(diǎn)P，則NM與OD互相垂直平分，
∴y_M＝y(tǒng)_N＝OP＝，
∴-x_M+5＝，∴x_M＝5， ∴x_N＝-xM＝-5，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-5，)。
綜上所述，x軸上方的點(diǎn)N有三個(gè)，分別為N₁(-，)， N₂(4，8)，N₃(-5，)。