Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論；
（3）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，且

AE

BC

=

6

2

，求∠B的大小．

Answer 1

（1）證明：∵M(jìn)N∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECA+∠ACF=

1

2

∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

（3）當(dāng)四邊形AECF是正方形時(shí)，AO⊥EF，
∵BC∥EF，
∴AC⊥BC，AC=

2

AE，
∵

AE

BC

=

6

2

，
∴BC=

6

3

AE，
∴tanB=

AC

BC

=

2 AE

6 3 AE

=

3

，
∴∠B=60°．