Question

如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD．
（1）求證：∠1+∠2=90°；

（2）若∠ABD的平分線(xiàn)與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于F，且∠F=55°，求∠ABC；

（3）若H是BC上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，F(xiàn)H交BD于M，F(xiàn)G平分∠BFH，交DE于N，交BC于G．當(dāng)H在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B點(diǎn)重合），

∠BAD+∠DMH

∠DNG

的值是否變化？如果變化，說(shuō)明理由；如果不變，試求出其值．

Answer 1

分析：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及平行線(xiàn)的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟悉掌握知識(shí)要點(diǎn)，并且善于運(yùn)用角與角之間的聯(lián)系進(jìn)行傳遞．
（1）由AD∥BC，DE平分∠ADB，得∠ADC+∠BCD=180，∠BDC=∠BCD，得出∠1+∠2=90°；
（2）由DE平分∠ADB，CD平分∠ABD，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠F=55°，得出∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，即∠ABC=70°；
（3）在△BMF中，根據(jù)角之間的關(guān)系∠BMF=180°-∠ABD-∠BFH，得∠GND=180°-∠AED-∠BFG，再根據(jù)角之間的關(guān)系得∠BAD=∠GND+

1

2

∠BFH-∠DBC，在綜上得出答案．

解答：（1）證明：AD∥BC，
∠ADC+∠BCD=180，
∵DE平分∠ADB，
∠BDC=∠BCD，
∴∠ADE=∠EDB，
∠BDC=∠BCD，
∵∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠EDB+∠BDC=90°，
∠1+∠2=90°．

解：（2）∠FBD+∠BDE=90°-∠F=35°，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，
∴∠ADB+∠ABD=2（∠FBD+∠BDE）=70°，
又∵四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，
即∠ABC=70°；

（3）

∠BAD+∠DMH

∠DNG

的值不變．
證明：在△BMF中，
∠BMF=∠DMH=180°-∠ABD-∠BFH，
又∵∠BAD=180°-（∠ABD+∠ADB），
∠DMH+∠BAD=（180°-∠ABD-∠BFH）+（180°-∠ABD-∠ADB），
=360-∠BFH-2∠ABD-∠ADB，
∠DNG=∠FNE=180°-

1

2

∠BFH-∠AED，
=180°-

1

2

∠BFH-∠ABD-

1

2

∠ADB，
=

1

2

（∠DMH+∠BAD），
∴

∠BAD+∠DMH

∠DNG

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；此題為探索題，比較新穎，實(shí)際涉及的知識(shí)不多．