Question

（2007•廣州）二次函數(shù)圖象過A、C、B三點，點A的坐標(biāo)為（-1，0），點B的坐標(biāo)為（4，0），點C在y軸正半軸上，且AB=OC．
（1）求C的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)A．B兩點的坐標(biāo)及點C在y軸正半軸上，且AB=OC．求出點C的坐標(biāo)為（0，5）；
（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，把A、B、C三點的坐標(biāo)代入解析式，可求出a、b、c的值．
解答：解：（1）∵A（-1，0），B（4，0）
∴AO=1，OB=4，
AB=AO+OB=1+4=5，
∴OC=5，即點C的坐標(biāo)為（0，5）；

（2）解法1：設(shè)圖象經(jīng)過A、C、B三點的二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c
由于這個函數(shù)圖象過點（0，5），可以得到C=5，又由于該圖象過點（-1，0），（4，0），則：
，
解方程組，得
∴所求的函數(shù)解析式為y=-x²+x+5
∵a=-＜0
∴當(dāng)x=-=時，y有最大值==；

解法2：
設(shè)圖象經(jīng)過A、C、B二點的二次函數(shù)的解析式為y=a（x-4）（x+1）
∵點C（0，5）在圖象上，
∴把C坐標(biāo)代入得：5=a（0-4）（0+1），解得：a=-，
∴所求的二次函數(shù)解析式為y=-（x-4）（x+1）
∵點A，B的坐標(biāo)分別是點A（-1，0），B（4，0），
∴線段AB的中點坐標(biāo)為（，0），即拋物線的對稱軸為直線x=
∵a=-＜0
∴當(dāng)x=時，y有最大值y=-=．
點評：解答此題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，頂點坐標(biāo)為x=-，y=．