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        1. (1996•山東)如圖,在△ABC中,BC=6,AC=4
          2
          ,∠C=45°,在BC邊上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)P作PD∥AB,與AC相交于點(diǎn)D,連接AP,設(shè)BP=x,△APD的面積為y.
          (1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍.
          (2)是否存在這樣的P點(diǎn),使得△APD的面積等于△ABP面積的
          2
          3
          ?若存在,求出BP的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
          分析:(1)設(shè)△ABP,△APD,△CDP的面積分別記為S1,S2,S3,由已知條件可求出△ABC中BC邊上的高為4,設(shè)△CDP中PC邊上的高為h,找到h和x的數(shù)量關(guān)系,則即可求出用x的代數(shù)式分別表示S1,S2,S3進(jìn)而表示出△APD的面積y;
          (2)存在,有(1)可知AE=4,進(jìn)而求出S△ABP=
          1
          2
          BP•AN=
          x
          2
          •4=2x
          ,當(dāng)使得△APD的面積等于△ABP面積的
          2
          3
          時(shí),則-
          1
          3
          x2+2x=
          2
          3
          •2x
          ,再解一元二次方程即可求出BP的長(zhǎng).
          解答:解:(1)過(guò)A作AE⊥BC,則AE為BC邊上的高,
          由Rt△AEC中,AC=4
          2
          ,得到此三角形為等腰直角三角形,
          ∴sin45°=
          AE
          AC
          ,即AE=ACsin45°=4
          2
          ×
          2
          2
          =4,
          ∴△ABC中BC邊上的高為4,
          設(shè)△CDP中PC邊上的高為h,
          ∵PD∥AB,
          ∴△CDP∽△CAB,
          h
          4
          =
          6-x
          6
          ,
          ∴h=
          2
          3
          (6-x)
          這樣S1=2x,S3=
          1
          2
          (6-x)•
          2
          3
          6-x)=
          1
          3
          (6-x)2,
          S2=12-2x-
          1
          3
          (6-x)2,
          y=-
          1
          3
          x2+2x
          ,
          ∵P點(diǎn)只能在線段BC上移動(dòng),且不能與B、C兩點(diǎn)重合
          ∴函數(shù)自變量的取值范圍是0<x<6;

          (2)由(1)可知AE=4,
          S△ABP=
          1
          2
          BP•AE=
          x
          2
          •4=2x

          S△APD=
          2
          3
          S△ABP
          -
          1
          3
          x2+2x=
          2
          3
          •2x

          即x2-2x=0解得x1=2,x2=0(舍去)
          ∵0<2<6,
          ∴在BC邊上存在一點(diǎn)P(BP=2),使△APD的面積等于△ABP的面積的
          2
          3
          點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系以及三角形的面積,難度不大,屬于中檔題目.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          C.1998年的利潤(rùn)比1997年的利潤(rùn)增長(zhǎng)315.51萬(wàn)元
          D.1999年的利潤(rùn)比1998年的利潤(rùn)增長(zhǎng)-7706.77萬(wàn)元

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