Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和B（0，5），拋物線與坐標(biāo)軸的另一交點(diǎn)為C，
（1）求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如果點(diǎn)M是線段BC的動(dòng)點(diǎn)，且⊙M與x軸、y軸都相切，切點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）在直線CB上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PDCO為梯形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)題意列出方程組，解出b、c的值，即可求出解析式．
（2）本題由（1）得出的解析式，得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出CB的解析式，根據(jù)已知得出點(diǎn)M到x軸、y軸的距離都相等，再設(shè)出M的坐標(biāo)，即可求出答案．
（3）本題需先根據(jù)已知條件，分兩種情況進(jìn)行討論，得出OP的解析式來，解出P點(diǎn)的坐標(biāo)，即可證出所求的結(jié)果．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得

0=-1+b+c 5=c.

b=-4 c=5.

，
∴拋物線的解析式為y=-x²-4x+5，
由頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，9）；

（2）由拋物線的解析式為y=-x²-4x+5，
可得C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，0），
∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，5），
∴直線CB的解析式為y=x+5
因?yàn)椤袽與x軸、y軸都相切，所以點(diǎn)M到x軸、y軸的距離都相等．
設(shè)M（a，-a）（-5＜a＜0），
得-a=a+5，
得a=-2.5．
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2.5，2.5）；

（3）（i）當(dāng)OP∥CD，且OP≠CD時(shí)，四邊形PDCO為梯形．
∵直線CD的解析式為y=3x+15，OP∥CD，
∴直線OP的解析式為y=3x．
根據(jù)題意，得

y=3x y=x+5.

，
得

x= 5 2 y= 15 2 .

，
∴點(diǎn)P(

5

2

，

15

2

)．
∵OP=

5

2

5

，CD=3

10

，
∴OP≠CD，
∴點(diǎn)P（

5

2

，

15

2

）即為所求，
∴點(diǎn)P（4，9）即為所求；
（ii）當(dāng)DP∥CO，且DP≠CO時(shí)，四邊形PDCO為梯形，
根據(jù)題意

y=9 y=x+5

，
解得：

x=4 y=9

，
∴點(diǎn)P（4，9），
∵OC=5，DP=6，
∴OC≠DP，
綜上所述，P1(

5

2

，

15

2

)、P2(4，9)為所求的．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，在解題時(shí)要注意解析式的確定、梯形的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，（3）小題中，都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問題要全面，做到不重不漏．