Question

【題目】如圖，在中，平分．

（1）尺規(guī)作圖（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），作的垂真平分線，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)；

（2）在（1）條件下，連接，，和有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠BAC+∠BGC=180°，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）作線段BC的垂直平分線即可；
（2）在AB上截取AD=AC，連接DG．首先證明△DAG≌△CAG（SAS），推出∠ABG+∠ACG=180°，利用四邊形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．

（1）線段BC的中垂線EG如圖所示；

（2）結(jié)論：∠BAC+∠BGC=180°．
理由：在AB上截取AD=AC，連接DG．
∵AM平分∠BAC，
∴∠DAG=∠CAG，
在△DAG和△CAG中
∵

∴△DAG≌△CAG（SAS），
∴∠ADG=∠ACG，DG=CG，
∵G在BC的垂直平分線上，
∴BG=CG，
∴BG=DG，
∴∠ABG=∠BDG，
∵∠BDG+∠ADG=180°，
∴∠ABG+∠ACG=180°，
∵∠ABG+∠BGC+∠ACG+∠BAC=360°，
∴∠BAC+∠BGC=180°．