Question

已知：拋物線y=x²+（1-2a）x+a²（ a≠0 ）與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁≠x₂．
（1）求a的取值范圍，并證明A、B兩點都在原點O的左側；
（2）若拋物線與y軸交于點C，是否存在這樣的a使得OA²+OB²=OA+OB+OC-1成立，若存在，求出a，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程根的判別式求得k的取值范圍；根據根與系數的關系和a的取值范圍進行分析x₁和x₂的符號，從而證明其位置；
（2）結合（1）的結論運用方程的根表示OA和OB的長，再根據根與系數的關系求得a值，從而判定是否存在．

解答：解：（1）∵△=（1-2a）²-4a²=1-4a＞0，
∴a＜

1

4

．
∵x₁+x₂=2a-1，x₁x₂=a²，
又∵a＜

1

4

，且a≠0，
∴x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0
∴x₁＜0，x₂＜0，∴A、B兩點都在原點O的左側．

（2）∵x₁＜0，x₂＜0，
∴OA=-x₁，OB=-x₂．
∵C（0，a²），
∴OC=a²．
∵OA²+OB²=OA+OB+OC-1，
∴x₁²+x₂²=-x₁-x₂+a²-1，
∴（2a-1）²-2a²=1-2a+a²-1，
∴a²-2a+1=0，
∴a=1（不合題意，舍去），
∴不存在這樣的a．

點評：此題考查了拋物線與坐標軸的交點和一元二次方程的根之間的聯系，能夠運用根與系數的關系求得未知字母的值．