Question

如圖1，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E在AC上，BE交CD于點(diǎn)G，EF⊥BE交AB于點(diǎn)F，若AC=mBC，CE=kEA，探索線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

說(shuō)明：如果你反復(fù)探索沒(méi)有解決問(wèn)題，可以選�。�1）或（2）中的條件，選（1）中的條件完成解答滿分為7分；選（2）中的條件完成解答滿分為5分．
（1）m=1（如圖2）
（2）m=1，k=1（如圖3）

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB，EN⊥CD，根據(jù)CD⊥AB和EF⊥BE先證明△EFM與△EGN相似，得到EF：EG=EM：EN，再根據(jù)平行線分線段成比例定理求出EM：CG=AE：AC，EN：AD=CE：AC，結(jié)合CE=kEA即可用CD、AD表示出EM與EN，再利用∠A的正切值即可求出．

解答：解：過(guò)E作EM⊥AB，EN⊥CD，
∵CD⊥AB，∴EM∥CD，EN∥AB，
∵EF⊥BE，∴∠EFM+∠EBF=90°，
∵∠EBF+∠DGB=90°，∠DGB=∠EGN（對(duì)頂角相等）
∴∠EFM=∠EGN，
∴△EFM∽△EGN，
∴

EF

EG

=

EM

EN

，
在△ADC中，
∵EM∥CD，
∴

EM

CD

=

AE

AC

，
又CE=kEA，
∴AC=（k+1）AE
∴CD=（k+1）EM，
同理

EN

AD

=

CE

AC

，
∴AD=

k+1

k

EN，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=mBC
tanA=

CD

AD

=

BC

AC

=

1

m

，
即

(k+1)EM

k+1 K EN

=

1

m

，
∴

EM

EN

=

1

km

，
∴EF=

1

km

EG．

點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，主要利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵，這就要求同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，開(kāi)拓視野．