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        1. 精英家教網(wǎng)已知四邊形ABCD(不是平行四邊形)中,AD與BC不平行,E、F、G、H分別是線段AB、AC、CD、BD的中點.
          (1)證明:四邊形EFGH是平行四邊形;
          (2)圖中不再添加其它的點和線,根據(jù)現(xiàn)有條件,在空格內(nèi)分別添加一個你認為正確的條件,使下列命題成立:
          ①當四邊形ABCD滿足條件
           
          時,四邊形EFGH是菱形;
          ②當四邊形ABCD滿足條件
           
          時,四邊形EFGH是矩形.
          分析:(1)根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.只需證EH∥FG,EH=FG即可.
          (2)根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.只需證EH=HG,由中位線定理可證EH=
          1
          2
          AD,HG=
          1
          2
          BC,
          所以AD=BC.
          (3)根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形.只需證∠EHG=90°,必須AD⊥BC.
          解答:解:(1)∵E、F、G、H分別是線段AB、AC、CD、BD的中點,
          ∴EH、FG分別是△ABD、△ACD的中位線,
          ∴EH∥AD,F(xiàn)G∥AD,EH=
          1
          2
          AD,F(xiàn)G=
          1
          2
          AD,
          ∴EH∥FG,EH=FG,
          ∴四邊形EFGH是平行四邊形.

          (2)AD=BC;
          ∵EH、HG分別是△ABD、△BCD的中位線,
          ∴EH=
          1
          2
          AD,HG=
          1
          2
          BC,
          ∵AD=BC,
          ∴EH=HG,
          ∴平行四邊形EFGH是菱形.

          (3)AD⊥BC.
          ∵EH、HG分別是△ABD、△BCD的中位線,
          ∴EH∥AD,HG∥BC,
          ∵AD⊥BC,
          ∴EH⊥HG,∠EHG=90°
          ∴平行四邊形EFGH是矩形.
          點評:本題利用了:
          1、三角形中位線的性質(zhì);
          2、平行四邊形的判定;
          3、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;
          4、有一個角是直角的平行四邊形是矩形.
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          (2)分別延長4條線段,使它們相交,你發(fā)現(xiàn)什么?
          (3)你能提出更多的問題嗎?

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          (3)如圖3若四邊形AEFP繞點A按逆時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,(1)中猜想出的結(jié)論是否總成立?直接寫出結(jié)論.

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          A、
          1
          3
          B、
          2
          5
          C、
          7
          15
          D、
          8
          15

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