Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為原點．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限的點A，點A的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的倍．
（1）求點A的坐標(biāo)；
（2）如果經(jīng)過點A的一次函數(shù)圖象與x軸的負(fù)半軸交于點B，AC⊥x軸于點C，若△ABC的面積為9，求這個一次函數(shù)的解析式．
（3）點D在反比例函數(shù)的圖象上，且點D在直線AC的右側(cè)，作DE⊥x軸于點E，當(dāng)△ABC與△CDE相似時，求點D的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限的點A，點A的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的倍，
∴設(shè)A點坐標(biāo)為：（x，x），
∴x•x=6，
解得：x=2或x=-2（不合題意舍去），
∴點A的坐標(biāo)為：（2，3）；

（2）∵點A的坐標(biāo)為：（2，3），AC⊥x軸于點C，
∴AC=3，CO=2，
∵△ABC的面積為9，
∴×AC×BC=（BO+2）×3=9，
解得：BO=4，
故B點坐標(biāo)為：（-4.0），
將A，B兩點代入y=kx+b得：
，
解得：，
故這個一次函數(shù)的解析式為：y=x+2；

（3）設(shè)D點的坐標(biāo)為（x，y）
∵反比例函數(shù)解析式為y=，
∴DE=y=，EC=x-2，
當(dāng)△ABC∽△DCE時，
則=，
即=，
解得：x₁=1+，x₂=1-（不合題意舍去），
故y==，
則D點坐標(biāo)為：（1+，），
當(dāng)△ABC∽△CDE時，
則=，
即=，
解得：x₁=3，x₂=-1（不合題意舍去），
故y==2，
則D點坐標(biāo)為：（3，2），
綜上所述：D點坐標(biāo)為：（1+，），（3，2）．
分析：（1）根據(jù)點A的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的倍，假設(shè)出A點坐標(biāo)，進而將A點代入反比例函數(shù)解析式即可求出；
（2）根據(jù)A點坐標(biāo)以及△ABC的面積為9，利用直角三角形面積求法得出B點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；
（3）利用當(dāng)△ABC∽△DCE時以及當(dāng)△ABC∽△CDE時分別利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式求出即可．
點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及相似三角形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知表示出D點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．