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        1. 精英家教網(wǎng)(1)如圖,要在一塊形狀為直角三角形(∠C為直角)的鐵皮上裁出一個半圓形的鐵皮,需先在這塊鐵皮上畫出一個半圓,使它的圓心O在線段AC上,且與AB、BC都相切.請你用直尺和圓規(guī)畫出來(要求用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法).
          (2)若AC=3,BC=4,求上述半圓的直徑.
          分析:(1)由于⊙O與BC、AB都相切,即O到AB、BC的距離相等,因此點O必為∠ABC的角平分線與線段AC的交點,可據(jù)此進行作圖.
          (2)設⊙O與AB的切點為D,由勾股定理易求得AB的值,根據(jù)切線長定理知:BC=BD,即可求得AD的長,設出⊙O的半徑,并表示出OA、OD的長,在Rt△OAD中,根據(jù)勾股定理即可求得⊙O的半徑,進而可得⊙O的直徑.(此題解法較多,只要能求出結(jié)果即可)
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)作出角平分線得(1分),作出半圓再得(1分),小結(jié)(1分),共(3分).

          (2)方法一:
          解:設半⊙O切BA于點D;
          ∵AC=3,BC=4,
          AB=
          32+42
          =5
          ;(4分)精英家教網(wǎng)
          ∵半⊙O切BA、BC于點D、C,
          ∴BD=BC=4,
          ∴AD=AB-BD=1;(5分)
          又∵AB與⊙O相切于點D,
          ∴OD⊥AB,∴∠ADO=90°;
          設半⊙O的半徑為r,在Rt△ADO中,由勾股定理得AD2+OD2=OA2,
          即12+r2=(3-r)2(7分)
          解得r=
          4
          3
          2r=
          8
          3
          ,
          ∴半⊙O的直徑等于
          8
          3
          .(8分)
          方法二:同一,證得∠ADO=90°,∵∠ACB=90°,
          ∴∠ADO=∠ACB,
          ∵∠A=∠A,
          ∴△ADO∽△ACB,
          AD
          AC
          =
          OD
          BC

          1
          3
          =
          r
          4
          ,解得r=
          4
          3

          ∴半⊙O的直徑等于
          8
          3

          方法三:同一,證得∠ADO=90°,
          S△ABO=
          1
          2
          AB•OD=
          1
          2
          AO•BC
          ,
          ∴AB•OD=AO•BC,
          即5r=4(3-r),
          解得r=
          4
          3
          ,
          ∴半⊙O的直徑等于
          8
          3
          點評:此題考查了角平行的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、切線長定理、勾股定理等知識的綜合應用,難度適中.
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