Question

 已知：如圖，是⊙O的直徑，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作弦點(diǎn)是上任一點(diǎn)，連結(jié)交于連結(jié)AC、CF、BD、OD．

1. （1）求證：；

2.（2）猜想：與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

3. （3）試探究：當(dāng)點(diǎn)位于何處時(shí)，△的面積與△的面積之比為1:2？并加以證明．

 

Answer 1

 

1.（1）證明：∵ 弦CD⊥直徑AB于點(diǎn)E， ∴ ． 

    ∴ ∠ACD =∠AFC．

       又 ∵ ∠CAH=∠FAC，

      ∴ △ACH∽△AFC（兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）．--------------1分

2.（2）猜想：AH·AF=AE·AB．

證明：連結(jié)FB．

       ∵ AB為直徑，∴∠AFB=90°．

       又∵ AB⊥CD于點(diǎn)E，∴ ∠AEH=90°．

 ∴．∵ ∠EAH=∠FAB，

      ∴ △AHE∽△ABF．

      ∴ ．

      ∴ AH·AF=AE·AB．------------------------------------------------- -----3分

3.（3）答：當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)（或）時(shí)，△的面積與△的面積之比為1:2 ．

證明：設(shè) △的面積為,△的面積為．

∵ 弦CD⊥直徑AB于點(diǎn)E， ∴ =，=．

∵位于的中點(diǎn)，∴．

    又是⊙O的直徑，∴．

∴．

又 由垂徑定理知 CE=ED，∴ ．

    ∴ 當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，△的面積與△的面

積之比為1:2 ．  -------------------------------------------------7分

解析:略