Question

【題目】【問題情境】張老師給愛好學習的小軍和小俊提出這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AB=AC，點P為邊BC上的任一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點C作CF⊥AB，垂足為F．求證：PD+PE=CF．
（1）.小軍的證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF． 小俊的證明思路是：如圖2，過點P作PG⊥CF，垂足為G，可以證得：PD=GF，PE=CG，則PD+PE=CF．
（2）.【變式探究】如圖3，當點P在BC延長線上時，其余條件不變，求證：PD﹣PE=CF；
（3）.【結(jié)論運用】如圖4，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C′處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；
（4）.【遷移拓展】圖5是一個航模的截面示意圖．在四邊形ABCD中，E為AB邊上的一點，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D、C，且ADCE=DEBC，AB=2 dm，AD=3dm，BD= dm．M、N分別為AE、BE的中點，連接DM、CN，求△DEM與△CEN的周長之和．

Answer 1

【答案】
（1）證明：（小軍的方法）連接AP，如圖②

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S△ABC=S△ABP+S△ACP，

∴ ABCF= ABPD+ ACPE．

∵AB=AC，

∴CF=PD+PE．

（小俊的方法）過點P作PG⊥CF，垂足為G，如圖②．

∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，

∴∠CFD=∠FDP=∠FGP=90°．

∴四邊形PDFG是矩形．

∴DP=FG，∠DPG=90°．

∴∠CGP=90°．

∵PE⊥AC，

∴∠CEP=90°．

∴∠PGC=∠CEP．

∵∠BDP=∠DPG=90°．

∴PG∥AB．

∴∠GPC=∠B．

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB．

∴∠GPC=∠ECP．

在△PGC和△CEP中，

∴△PGC≌△CEP．

∴CG=PE．

∴CF=CG+FG

=PE+PD．

（2）證明：連接AP，如圖③．

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S△ABC=S△ABP﹣S△ACP，

∴ ABCF= ABPD﹣ ACPE．

∵AB=AC，

∴CF=PD﹣PE．

（3）過點E作EQ⊥BC，垂足為Q，如圖④，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．

∵AD=8，CF=3，

∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5．

由折疊可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．

∴DF=5．

∵∠C=90°，

∴DC=

=

=4．

∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，

∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．

∴四邊形EQCD是矩形．

∴EQ=DC=4．

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB．

∵∠BEF=∠DEF，

∴∠BEF=∠EFB．

∴BE=BF．

由問題情境中的結(jié)論可得：PG+PH=EQ．

∴PG+PH=4．

∴PG+PH的值為4．

（4）延長AD、BC交于點F，作BH⊥AF，垂足為H，如圖⑤．

∵ADCE=DEBC，

∴ ．

∵ED⊥AD，EC⊥CB，

∴∠ADE=∠BCE=90°．

∴△ADE∽△BCE．

∴∠A=∠CBE．

∴FA=FB．

由問題情境中的結(jié)論可得：ED+EC=BH．

設DH=xdm，

則AH=AD+DH=（3+x）dm．

∵BH⊥AF，

∴∠BHA=90°．

∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2．

∵AB=2 ，AD=3，BD= ，

∴（ ）2﹣x2=（2 ）2﹣（3+x）2．

解得：x=1．

∴BH2=BD2﹣DH2

=37﹣1=36．

∴BH=6dm．

∴ED+EC=6．

∵∠ADE=∠BCE=90°，

且M、N分別為AE、BE的中點，

∴DM=M=EM= AE，CN=BN=EN= BE．

∴△DEM與△CEN的周長之和

=DE+DM+EM+CN+EN+EC

=DE+AE+BE+EC

=DE+AB+EC

=DE+EC+AB

=6+2 ．

∴△DEM與△CEN的周長之和為（6+2 ）dm．

【解析】【問題情境】如下圖②，按照小軍、小俊的證明思路即可解決問題．【變式探究】如下圖③，借鑒小軍、小俊的證明思路即可解決問題．【結(jié)論運用】易證BE=BF，過點E作EQ⊥BF，垂足為Q，如下圖④，利用問題情境中的結(jié)論可得PG+PH=EQ，易證EQ=DC，BF=DF，只需求出BF即可．【遷移拓展】由條件ADCE=DEBC聯(lián)想到三角形相似，從而得到∠A=∠ABC，進而補全等腰三角形，△DEM與△CEN的周長之和就可轉(zhuǎn)化為AB+BH，而BH是△ADB的邊AD上的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，再求出BH，就可解決問題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直角三角形斜邊上的中線的相關知識，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．