Question

已知，如圖，正方形ABCD的邊長為6，菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，AH=2，連接CF．
（1）當DG=2時，求證：菱形EFGH為正方形；
（2）求證：∠AEH=∠CGF；
（3）設DG=x，用含x的代數式表示△FCG的面積．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形ABCD為正方形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易證△AHE≌△DGH，從而有∠DHG=∠HEA，等量代換可得∠AHE+∠DHG=90°，易證四邊形HEFG為正方形；
（2）過F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE，由AB與CD平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，再由GE為菱形的對角線，利用菱形的性質得到一對內錯角相等，利用等式的性質即可得證；
（3）欲求△FCG的面積，由已知得CG的長易求，只需求出GC邊的高，通過證明△AHE≌△MFG可得．

解答：（1）證明：在△HDG和△AEH中，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=90°，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△HDG和△AEH中，

HG=HE DG=AH

，
∴Rt△HDG≌△AEH（HL），
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH為正方形，
∴∠EHG=90°；

（2）證明：過F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE，
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM；
（3）由（2）得到∠AEH=∠FGM，
在Rt△AHE和Rt△GFM中，

∠A=∠M=90° ∠AEH=∠FGM HE=FG

，
∴Rt△AHE≌Rt△GFM（AAS），
∴MF=2，
∵DG=x，
∴CG=6-x，
∴S_△FCG=

1

2

CG•FM=6-x．

點評：本題考查了正方形的性質、菱形的性質、全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是作輔助線：過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，構造全等三角形和內錯角．