Question

（2012•松北區(qū)二模）等腰△ABC中，AB=BC，點D在BC上，射線BM交AD于點E，∠BAD=∠FBC，點F在射線BM上，且∠BFC=∠ADC．
（1）當(dāng)F點與E點重合時（如圖1），求證：BD=CF；
（2）當(dāng)∠BFC=60時（如圖2），S_△ABD：S_△BCF=5：8，△BCF的周長和△ABD的周長之差為3，D點關(guān)于過E的某條直線對稱點G，恰好落在射線BM上，連接GC，求線段GC的長度．

Answer 1

分析：（1）在BF上取點H，使BH=AD，利用全等三角形的判定得出△ABD≌△BCH，進(jìn)而得出BD=CH，∠ADB=∠BHC，求出∠ADC=∠FHR=∠BFC，即可得出答案；
（2）首先利用S_△ABD：S_△BCF=5：8，得出BF：AD=5：8，進(jìn)而利用△BCF的周長和△ABD的周長之差為3得出FH=3，進(jìn)而由△ABD∽△BED，得出BE，DE的長，利用對稱性得出BG，EG的長，即可得出FQ，QG，以及GC的長．

解答：（1）證明：在BF上取點H，使BH=AD，
∵在△ABD和△BCH中：

BH=AD ∠BAD=∠FBC AB=BC

∴△ABD≌△BCH（SAS），
∴BD=CH，∠ADB=∠BHC，
∵等角的補角相等，
∴∠ADC=∠FHR=∠BFC，
∴FC=CH=BD，

（2）解：∵AB=BC，∠BAD=∠FBC，
∴由題意可得出，C到BF的距離等于B到AD的距離，
∵S_△ABD：S_△BCF=5：8，
∴BF：AD=5：8，
即BF：BH=5：8，F(xiàn)H：BH=3：5，
∵AB=BC，BD=CF，AD=BH，△BCF的周長和△ABD的周長差為3，
∴FH=3，
∴BH=AD=5，BF=8，
當(dāng)∠ADC=60°時，△FCH是等邊三角形，
∴FC=FH=HC=BD=3，
過點B作CF⊥BF交延長線于P，
∴FP=

1

2

BF=4，CP=PF-FC=1，
∴BP=4

3

，
∴BC=

(4 3 )2+12

=7=AB，
由△ABD∽△BED，
∴DE：BD=BD：AD=BE：AB，
∴

DE

3

=

3

5

=

BE

7

解得：DE=1.8，BE=4.2，
由D、G關(guān)于過E點直線對稱，得EG=DE=1.8，BG=BE+EG=6，
作GQ⊥CF于Q，
∵∠BFC=60°，F(xiàn)G=2，
∴FQ=1，QG=

3

∴GC=

QC2+QG2

=

3+22

=

7

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，正確作出輔助線利用相似三角形的性質(zhì)得出DE，BE的長是解題關(guān)鍵．