Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(

5

2

，-

9

8

)，且經(jīng)過點(diǎn)A（8，14）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)該拋物線與y軸相交于點(diǎn)B，與x軸相交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），試求點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P是x軸上的任意一點(diǎn)，分別連接AC、BC．試判斷：PA+PB與AC+BC的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-

5

2

）²-

9

8

∵拋物線經(jīng)過A（8，14），
∴14=a（8-

5

2

）²-

9

8

，
解得：a=

1

2

∴y=

1

2

（x-

5

2

）²-

9

8

（或y=

1

2

x2-

5

2

x+2）

（2）令x=0得y=2，
∴B（0，2）
令y=0得

1

2

x²-

5

2

x+2=0，
解得x₁=1、x₂=4
∴C（1，0）、D（4，0）

（3）結(jié)論：PA+PB≥AC+BC
理由是：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，有PA+PB=AC+BC
②當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)C時(shí)，
∵直線AC經(jīng)過點(diǎn)A（8，14）、C（1，0），
∴直線AC的解析式為y=2x-2
設(shè)直線AC與y軸相交于點(diǎn)E，令x=0，得y=-2，
∴E（0，-2），
則點(diǎn)E（0，-2）與B（0，2）關(guān)于x軸對(duì)稱
∴BC=EC，連接PE，則PE=PB，
∴AC+BC=AC+EC=AE，
∵在△APE中，有PA+PE＞AE
∴PA+PB=PA+PE＞AE=AC+BC
綜上所得AP+BP≥AC+BC．