Question

如圖，點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）上，點(diǎn)C在x軸的正半軸上且坐標(biāo)為（4，O），△ODC是以CO為斜邊的等腰直角三角形．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)B為橫坐標(biāo)為1的反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，BA、BE分別垂直x軸和y軸，垂足分別為點(diǎn)A和點(diǎn)E，連接OB，將四邊形OABE沿OB折疊，使A點(diǎn)落在點(diǎn)A′處，A′B與y軸交于點(diǎn)F．求直線BA′的解析式；
（3）求一點(diǎn)P坐標(biāo)，使點(diǎn)P、A′、A、O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．（直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)）

Answer 1

分析：（1）過D作DG⊥x軸，交x軸于點(diǎn)G，由三角形ODC為等腰直角三角形，利用三線合一得到G為OC的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出DG與OG的長，確定出D坐標(biāo)，代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）將B的橫坐標(biāo)1代入反比例解析式中求出y的值，確定出B的縱坐標(biāo)，由折疊的性質(zhì)得到△BOA′≌△BOA，即為BA與BA′的長相等，再利用AAS得出△OA′F≌△BFE，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到A′F=EF，由OE=EF+OF=4，得到A′F+OF=4，在Rt△A′OF中，由勾股定理得OA′²+A′F²=OF²，設(shè)OF=x，則A′F=4-x，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OF的長，進(jìn)而得出F的坐標(biāo)，設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b，將B與F的坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出直線A′B的解析式；
（3）滿足題意的P點(diǎn)有三個(gè)位置，如圖所示，四邊形AOA′P₁，四邊形AA′P₂O，四邊形AA′OP₃都為平行四邊形，
過A′作A′M⊥x軸，交x軸于點(diǎn)M，由題意得出△FA′O∽△OMA′，由相似得比例求出A′M與OM的長，確定出A′的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的對邊相等得到A′P₁=OA=1，確定出P₁的坐標(biāo)，由A′、A分別為P₁P₂、P₁P₃的中點(diǎn)，A（1，0），利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出P₂與P₃的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過D作DG⊥x軸，交x軸于點(diǎn)G，
∵△ODC為等腰直角三角形，
∴G為OC的中點(diǎn)，即DG為斜邊上的中線，
∴DG=OG=

1

2

OC=2，
∴D（2，2），
代入反比例解析式得：2=

k

2

，即k=4，
則反比例解析式為y=

4

x

；

（2）∵點(diǎn)B是y=

4

x

上一點(diǎn)，B的橫坐標(biāo)為1，
∴y=

4

1

=4，
∴B（1，4），
由折疊可知：△BOA′≌△BOA，
∵OA=1，AB=4，
∴BE=A′O=1，OE=BA′=4，
又∵∠OAB=90°，∠A′FO=∠BFE，
∴∠BA′O=∠OEB=90°，
∴△OA′F≌△BFE（AAS），
∴A′F=EF，
∵OE=EF+OF=4，
∴A′F+OF=4，
在Rt△A′OF中，由勾股定理得OA′²+A′F²=OF²，
設(shè)OF=x，則A′F=4-x，
∴1²+（4-x）²=x²，
∴x=

17

8

，
∴OF=

17

8

，即F（0，

17

8

），
設(shè)直線BA′解析式為y=kx+b，
將B（1，4）與F（0，

17

8

）坐標(biāo)代入得：

k+b=4 b= 17 8

，
解得：

k= 15 8 b= 17 8

，
則線BA′解析式為y=

15

8

x+

17

8

；

（3）如圖所示：四邊形AOA′P₁，四邊形AA′P₂O，四邊形AA′OP₃都為平行四邊形，
過A′作A′M⊥x軸，交x軸于點(diǎn)M，
∵∠A′OM+∠A′OF=90°，∠A′OM+∠MA′O=90°，
∴∠A′OF=∠MA′O，
∵∠A′MO=∠FA′O=90°，
∴△FA′O∽△OMA′，
∴

OF

OA′

=

OA′

OM

，即

17 8

1

=

1

OM

，
∴OM=

8

17

，根據(jù)勾股定理得：OM=

15

17

，
∴A′（-

15

17

，

8

17

），
∵A′P₁=OA=1，
∴P₁（

2

17

，

8

17

），
∵A′、A分別為P₁P₂、P₁P₃的中點(diǎn)，A（1，0），
∴P₂（-

32

17

，

8

17

），P₃（

32

17

，-

8

17

）．

點(diǎn)評：此題考查了反比例綜合題，涉及的知識有：折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的壓軸題．