Question

已知二次函數(shù)y=（m²-2）x²-4mx+n的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且它的最高點在直線y=

1

2

x+1上．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）若此拋物線的開口方向不變，頂點在直線y=

1

2

x+1上移動到點M時，圖象與x軸交于A、B兩點，且S_△ABM=8，求此時的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象關(guān)于直線x=2對稱得出x=-

b

2a

=-

-4m

2(m2-2)

=2，求出m的值，再利用它的最高點在直線y=

1

2

x+1上，得出圖象開口向下以及y的值，進而得出頂點坐標，得出解析式即可；
（2）首先假設(shè)頂點在直線y=

1

2

x+1上移動到點M，設(shè)M（h，

1

2

h+1），利用拋物線的開口方向不變，a=-1，得出二次函數(shù)的頂點式，再整理為一般形式，利用拋物線與x軸交點距離公式AB=

b2-4ac

|a|

求出h的值，進而得出二次函數(shù)的解析式即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=（m²-2）x²-4mx+n的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
∴x=-

b

2a

=-

-4m

2(m2-2)

=2，
整理可得：
（m+1）（m-2）=0，
m=-1或m=2，
若m=-1則y=-x²+4x+n
若m=2則y=2x²-8x+n
因為它的最高點在直線y=

1

2

x+1上，
所以拋物線圖象向下，a＜0，則m=-1，
把x=2代入y=

1

2

x+1，故y=2，
把m=-1，（2，2）代入得n=-2，
則y=-x²+4x-2；

（2）因為頂點在直線y=

1

2

x+1上移動到點M，設(shè)M（h，

1

2

h+1），
因為拋物線的開口方向不變，a=-1，
設(shè)y=-（x-h）²+

1

2

h+1，
=-x²+2hx-h²+

1

2

h+1，
AB=

b2-4ac

|a|

=

△

=

2h+4

，
由S_△ABM=8，
所以：

1

2

×

2h+4

×（

1

2

h+1）=8，
設(shè)

2h+4

=t，

1

2

×t×[

1

4

（2h+4）]=8，

1

2

×t×

1

4

t²=8，
則t³=64，
故t=4，即h=6，代入y=-x²+2hx-h²+

1

2

h+1得，
故此時解析式為：y=-x²+12x-32．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的平移不改變a的值以及拋物線與x軸交點距離公式AB=

b2-4ac

|a|

求出是解題關(guān)鍵．