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        1. 【題目】類比等腰三角形的定義,我們定義:有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形

          1)如圖1,在四邊形ABCD中添加一個條件使得四邊形ABCD等鄰邊四邊形.請寫出你添加的一個條件.

          2)問題探究

          小紅提出了一個猜想:對角線互相平分且相等的等鄰邊四邊形是正方形.她的猜想正確嗎?請說明理由.

          3)如圖2等鄰邊四邊形ABCD中,ABADBADBCD90°,AC,BD為對角線,AC AB.試探究線段BCCD,BD之間的數(shù)量關系,并證明你的結論.

          【答案】1ABBC,(答案不唯一),理由見解析;2)正確;理由見解析;3BC2CD22BD2,證明見解析.

          【解析】試題分析:(1)利用“等鄰邊四邊形”的定義直接判斷即可,

          (2)利用矩形的判定和菱形的判定和“等鄰邊四邊形”的定義直接判斷即可,

          (3)先判斷出△ACF∽△ABD,得到CF= BD,再求出CBF=90°,最后用勾股定理即可求解.

          試題解析:1ABBC,(答案不唯一)

          理由:∵四邊形ABCD是凸四邊形,且ABAC,

          ∴四邊形ABCD等鄰邊四邊形

          2)正確;理由為:

          ∵四邊形的對角線互相平分且相等,

          ∴四邊形ABCD是矩形 ,

          ∵四邊形是等鄰邊四邊形,

          ∴這個四邊形有一組鄰邊相等,

          ∴四邊形ABCD是菱形 ,

          ∴對角線互相平分且相等的等鄰邊四邊形是正方形;

          3BC2CD22BD2,證明如下:

          如圖,

          ABAD

          ∴以A為圓心,AC為半徑畫弧,再以B為圓心,CD為半徑畫弧,兩弧相交于點F

          則可將△ADC線繞點A旋轉到△ABF,連接CF

          則△ABF≌△ADC,

          ∴∠ABFADCBAFDAC,AFACFBCD,

          ∴∠BADCAF, ,

          ∴△ACF∽△ABD

          ,

          ACAB,CFBD

          ∵∠BADADCBCDABC360°,

          ∴∠ABCADC360°-(BADBCD)=360°90°270°,

          ∴∠ABCABF270°

          ∴∠CBF90°,

          BC2FB2CF2(BD)22BD2

          BC2CD22BD2

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