Question

如圖1，拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．[圖2、圖3為解答備用圖]

（1）k=

 

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

；
（2）設(shè)拋物線y=x²-2x+k的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）在拋物線y=x²-2x+k上求點(diǎn)Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

Answer 1

分析：（1）把C（0，-3）代入拋物線解析式可得k值，令y=0，可得A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）過M點(diǎn)作x軸的垂線，把四邊形ABMC分割成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形，求它們的面積和；
（3）設(shè)D（m，m²-2m-3），連接OD，把四邊形ABDC的面積分成△AOC，△DOC，△DOB的面積和，求表達(dá)式的最大值；（4）有兩種可能：B為直角頂點(diǎn)、C為直角頂點(diǎn)，要充分認(rèn)識(shí)△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通過解直角三角形求出相關(guān)線段的長度．

解答：解：（1）把C（0，-3）代入拋物線解析式y(tǒng)=x²-2x+k中得k=-3
∴y=x²-2x-3，
令y=0，
即x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0）．

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的頂點(diǎn)為M（1，-4），連接OM．
則△AOC的面積=

3

2

，△MOC的面積=

3

2

，
△MOB的面積=6，
∴四邊形ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積=9．
說明：也可過點(diǎn)M作拋物線的對稱軸，將四邊形ABMC的面
積轉(zhuǎn)化為求1個(gè)梯形與2個(gè)直角三角形面積的和．

（3）如圖（2），設(shè)D（m，m²-2m-3），連接OD．
則0＜m＜3，m²-2m-3＜0
且△AOC的面積=

3

2

，△DOC的面積=

3

2

m，
△DOB的面積=-

3

2

（m²-2m-3），
∴四邊形ABDC的面積=△AOC的面積+△DOC的面積+△DOB的面積
=-

3

2

m²+

9

2

m+6
=-

3

2

（m-

3

2

）²+

75

8

．
∴存在點(diǎn)D（

3

2

，-

15

4

），使四邊形ABDC的面積最大為

75

8

．

（4）有兩種情況：
如圖（3），過點(diǎn)B作BQ₁⊥BC，交拋物線于點(diǎn)Q₁、交y軸于點(diǎn)E，連接Q₁C．
∵∠CBO=45°，
∴∠EBO=45°，BO=OE=3．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）．
∴直線BE的解析式為y=-x+3．
由

y=-x+3 y=x2-2x-3

解得

x1=-2 y1=5

x2=3 y2=0

∴點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（-2，5）．
如圖（4），過點(diǎn)C作CF⊥CB，交拋物線于點(diǎn)Q₂、交x軸于點(diǎn)F，連接BQ₂．
∵∠CBO=45°，
∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-3，0）．
∴直線CF的解析式為y=-x-3．
由

y=-x-3 y=x2-2x-3

解得

x1=0 y1=-3

x2=1 y2=-4

∴點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)為（1，-4）．
綜上，在拋物線上存在點(diǎn)Q₁（-2，5）、Q₂（1，-4），使△BCQ₁、△BCQ₂是以BC為直角邊的直角三角形．
說明：如圖（4），點(diǎn)Q₂即拋物線頂點(diǎn)M，直接證明△BCM為直角三角形同樣可以．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線解析式的求法，運(yùn)用解析式解決面積問題，及求構(gòu)成直角三角形的條件等知識(shí)．