Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE、DE、DF．

（1）證明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度數(shù)；
（3）設(shè)DE交AB于點G，若DF=4，cosB= ，E是 的中點，求EGED的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵CD=BD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C；

（2）

解：∵四邊形AEDF是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠AFD=180°-∠E，

又∵∠CFD=180°-∠AFD，

∴∠CFD=∠E=55°，

又∵∠E=∠C=55°，

∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；

（3）

解：連接OE，

∵∠CFD=∠E=∠C，

∴FD=CD=BD=4，

在Rt△ABD中，cosB= ，BD=4，

∴AB=6，

∵E是 的中點，AB是⊙O的直徑，

∴∠AOE=90°，

∵AO=OE=3，

∴AE=3 ，

∵E是 的中點，

∴∠ADE=∠EAB，

∴△AEG∽△DEA，

∴ ，

即EGED=AE2=18．

【解析】（1）直接利用圓周角定理得出AD⊥BC，勁兒利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠AFD=180°﹣∠E，進而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根據(jù)cosB= ，得出AB的長，再求出AE的長，進而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．此題主要考查了圓的綜合題、圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出AE，AB的長是解題關(guān)鍵．