Question

使得函數(shù)值為零的自變量的值稱為函數(shù)的零點(diǎn)．例如，對(duì)于函數(shù)，令，可得，我們就說(shuō)是函數(shù)的零點(diǎn)．請(qǐng)根據(jù)零點(diǎn)的定義解決下列問(wèn)題：已知函數(shù)（m為常數(shù)）．

1.當(dāng)m=0時(shí)，求該函數(shù)的零點(diǎn)

2.證明：無(wú)論m取何值，該函數(shù)總有兩個(gè)零點(diǎn)；

3.設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為和，且，此時(shí)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)分別為A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），點(diǎn)M在直線上，當(dāng)MA+MB最小時(shí)，求直線AM的函數(shù)解析式．

 

Answer 1

【答案】

 

1.函數(shù)的零點(diǎn)為和－.。

2.見(jiàn)解析。

3.

【解析】解：(1)當(dāng)時(shí)，，    -------1分 

令，即，解得， 

∴當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的零點(diǎn)為和－. ………………………2分

（2）令，即，     

△=(－2m)²－4[－2(m+3)] =4m²+8m+24………………………1分

△=4(m+1)²+20                               

∵無(wú)論m為何值，4(m+1)²≥0，4(m+1)²+20＞0， 即△＞0，………………2分                                    

∴無(wú)論m為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即該函數(shù)總有兩個(gè)零點(diǎn).   ………………………3分

（3）依題意有，，，    …………………1分

由得=－，即=－，……………2分

解得m＝1.                                          …………………3分

因此函數(shù)解析式為y=x²－2x－8，

令y=0，解得x₁=－2，x₂=4，                      

∴A（－2，0），B（4，0），                          …………………4分

作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B´，連結(jié)AB´，  

則AB´與直線的交點(diǎn)就是滿足條件的M點(diǎn).                …………………5分

易求得直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為C(10，0)，D(0，－10)，………6分

連結(jié)CB´，則∠BCD=45°，∴BC=CB´=6，∠B´CD=∠BCD=45°，

∴∠BCB´=90°.        即B´（10，-6）.                  ………7分

設(shè)直線AB´的解析式為，則

，解得，.

∴直線AB´的解析式為，

即AM的解析式為.