Question

19、如圖，點(diǎn)D是△ABC中∠BAC的平分線(xiàn)和邊BC的垂直平分線(xiàn)DE的交點(diǎn)，DG⊥AB于點(diǎn)G，DH⊥AC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，
（1）D點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等嗎？為什么？
（2）D點(diǎn)到∠BAC兩邊的距離相等嗎？為什么？
（3）探求BG和CH之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)解答即可；
（2）依據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)解答；
（3）連接BD、CD，利用角平分線(xiàn)及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可求出BD=DH，DG=DC，依據(jù)HL定理可判斷出Rt△BDG≌Rt△CDH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）相等．
∵D是線(xiàn)段BC垂直平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，
∴D點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等；

（2）相等．
∵點(diǎn)D在∠BAC的角平分線(xiàn)上，
∴D點(diǎn)到∠BAC兩邊的距離相等；

（3）BG=CH．
連接BD、CD，
∵D是線(xiàn)段BC垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)，
∴BD=DC，
∵D是∠BAC平分線(xiàn)上的點(diǎn)，DG⊥AB，DH⊥AC
∴DG=DH，
∴Rt△BDG≌Rt△CDH，
∴BG=CH．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)及角平分線(xiàn)的性質(zhì)，直角三角形全等的判定定理及性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形解答．