Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，，E為CD邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，過點(diǎn)E作交BC于點(diǎn)M，連接AM、BD交于點(diǎn)N，現(xiàn)有下列結(jié)論：；；；點(diǎn)N為的外心．其中正確的個(gè)數(shù)為　　

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得AD=FC，AE=FE，結(jié)合ME⊥AF可得AM=MF，結(jié)合MF=MC+CF即可得到結(jié)論①成立；（2）假設(shè)AM=DE+BM成立，則結(jié)合（1）可推得CE=2MC，但由題中條件不能得到CE=2MC一定成立，故結(jié)論②不成立；（3）由已知條件證△ADE∽△ECM，結(jié)合DE=CE即可證得結(jié)論③成立；（4）過點(diǎn)M作MF⊥AD于點(diǎn)F，連接BF交AM于點(diǎn)Q，則易證點(diǎn)Q是AM的中點(diǎn)，由此可得點(diǎn)N不是AM的中點(diǎn)，從而可得結(jié)論④不成立；綜合（1）--（4）即可得到所求答案.

詳解：

（1）∵△CEF是由△DEA繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到的，

∴AD=FC，AE=FE，DE=CE，

又∵M(jìn)E⊥AF，

∴AM=MF，

∵M(jìn)F=MC+CF，

∴AM=AD+MC，即結(jié)論①成立；

（2）假設(shè)AM=DE+BM成立，

∵由（1）可知AM=AD+MC，

∴AD+MC=DE+BM,

又∵AD=BC=BM+MC，DE=CE，

∴BM+MC+MC=BM+CE，

∴2MC=CE，

∵由題中條件不能確定CE=2MC成立，

∴AM=DE+BM不一定成立，故結(jié)論②不成立；

（3）∵M(jìn)E⊥AF，四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADE=∠MEF=∠ECM=90°，

∴∠MEC+∠EMC=90°，∠EMC+∠F=90°，

∴∠MEC=∠F，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠F，

∴∠DAE=∠MEC，

∴△ADE∽△ECM，

∴AD：EC=DE：CM，

∴EC·DE=AD·CM，

又∵EC=DE，

∴DE2=AD·CM，故結(jié)論③成立；

（4）如下圖，過點(diǎn)M作MF⊥AD于點(diǎn)F，連接BF交AM于點(diǎn)Q，

∴∠ABM=∠BAF=∠AFM=90°，

∴四邊形ABMF是矩形，

∴點(diǎn)Q是AM的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)Q是△ABM的外心，

∵點(diǎn)Q與點(diǎn)N不重合，

∴點(diǎn)N不是△ABM的外心，故結(jié)論④不成立.

綜上所述，上述4個(gè)結(jié)論中，成立的是①③，共2個(gè).

故選B.