Question

22、我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．在學(xué)習(xí)《中點(diǎn)四邊形》時(shí)，小明和小亮產(chǎn)生了很大的意見分歧：
小明說：如果一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，則原四邊形一定是矩形；
小亮說：如果一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，則原四邊形一定是對(duì)角線相等的四邊形，而不一定是矩形．
（1）你認(rèn)為誰的觀點(diǎn)錯(cuò)誤的，請(qǐng)畫圖舉一個(gè)反例，并作簡(jiǎn)單說明

反例如圖

．
（2）如果該四邊形的對(duì)角線互相垂直，則中點(diǎn)四邊形為

矩形

．
（3）如果該四邊形的對(duì)角線相等，則中點(diǎn)四邊形為

菱形

．
（4）如果該四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，則中點(diǎn)四邊形為

正方形

．

Answer 1

分析：（1）中點(diǎn)四邊形的形狀取決于原四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)；
（2）當(dāng)原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形的形狀為菱形；
（3）當(dāng)原四邊形的對(duì)角線垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形的形狀為矩形；
（4）如果該四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，則中點(diǎn)四邊形為 正方形．

解答：解：（1）我認(rèn)為小明的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，反例如圖所示．
在等腰梯形ABCD中
AC=BD，
∵M(jìn)、Q是AB、AD的中點(diǎn)，
∴MQ∥BD，MQ=BD，
同理NP∥BD，NP=BD，
可得四邊形MNPQ是平行四邊形，
再由MN=PN可得四邊形MNPQ是菱形，
（2）∵四邊形的對(duì)角線互相垂直，
∴它的中點(diǎn)四邊形為矩形，
（3））∵四邊形的對(duì)角線相等，
∴它的中點(diǎn)四邊形為菱形，
（4））∵四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，
∴它的中點(diǎn)四邊形為正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)及特殊四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是牢記中點(diǎn)四邊形的形狀取決于原四邊形的對(duì)角線的性質(zhì)．