Question

如圖，菱形ABCD中，∠ABC=120°，菱形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E、F與D不重合）．
（1）若E、F滿足AE=DF．
①求證：△BEF是等邊三角形；
②設(shè)△BEF面積為S，直接寫(xiě)出S的最大值和最小值．
（2）若E、F滿足∠BEF=60°，則△BEF是否仍一定為等邊三角形？若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①先證明三角形BEF是等腰三角形，再求出一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是60°．
②當(dāng)點(diǎn)E、F分別與點(diǎn)D、C重合時(shí)，等邊三角形的邊最長(zhǎng)面積最大，當(dāng)EF⊥BD時(shí)且E．F分別兩邊的中點(diǎn)時(shí)邊最小面積也最�。�
（2）先判定再證明，只要求出另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)就能判定三角形的形狀，利用兩個(gè)等角加相鄰的角相等從而求出另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．

解答：解：（1）①證明：
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°
∴∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD=60° AD=CD
∴△ABC與△BCD是正三角形
∴BD=BC
∵AE=DF
∴DE=CF
在△BDE與△BFC中

PE=CF ∠ADB=∠C BD=BC

∴△BDE≌△BFC
∴BE=BF，∠EBD=∠CBF
∴∠EBD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=60°
∴∠EBF=60°
∴△BEF為等邊三角形；
②由①知△BEF為等邊三角形，其邊長(zhǎng)最大值為6，最小值為3

3

，
所以S的最大值是9

3

，最小值為

27

4

3

．

（2）△BEF是等邊三角形過(guò)E作EG∥DB交AB與點(diǎn)G
可得△AEG是等邊三角形
∴AE=AG，∠EGB=120°，∠AEG=60°
∴GB=ED∠EGB=∠EDF
∵∠BEF=60°
∴∠GEB+∠DEF=60°
∵∠DFE+∠DEF=60°
∴∠GEB=∠DEF
∴△EGB≌△FDE
∴BE=EF
∴△BEF是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：證明這個(gè)題一定要牢記等邊三角形的判定條件和等邊三角形的性質(zhì)．依據(jù)題意判斷使用哪種判定條件．