Question

【題目】 如圖，E為正方形ABCD邊AB上一動點（不與A重合），AB=4，將△DAE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAF，再將△DAE沿直線DE折疊得到△DME．下列結(jié)論：①連結(jié)AM，則AM∥FB；②連結(jié)FE，當(dāng)F、E、M共線時，AE=4-4；③連結(jié)EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，則AE=4-4；④連結(jié)EF，設(shè)FC、ED交于點O，若FE平分∠BFC，則O是FC的中點，且AE=2-2，其中正確的個數(shù)有（　　）個．

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

①正確．如圖1中，連接AM，延長DE交BF于J．想辦法證明BF⊥DJ，AM⊥DJ即可．

②正確．如圖2中，當(dāng)F、E、M共線時，易證∠DEA=∠DEM=67.5°，在MD上取一點J，使得ME=MJ，連接EJ，設(shè)AE=EM=MJ=x，則EJ=JD=x，構(gòu)建方程即可解決問題．

③正確．如圖3中，連接EC，CF，當(dāng)EF=CE時，設(shè)AE=AF=m，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．

④正確．如圖4中，當(dāng)OF=OC時，設(shè)AE=AF=n．根據(jù)tan∠CFD=tan∠EDA，構(gòu)建方程即可解決問題．

解：①如圖1中，連接AM，延長DE交BF于J．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD．∠DAE=∠BAF=90°，

∵AE=AF，

∴△BAF≌△DAE（SAS），

∴∠ABF=∠ADE，

∵∠ADE+∠AED=90°，∠AED=∠BEJ，

∴∠BEJ+∠EBJ=90°，

∴∠BJE=90°，

∴DJ⊥BF，

由翻折可知：EA=EM，DM=DA，

∴DE垂直平分線段AM，

∴BF∥AM，故①正確，

②如圖2中，當(dāng)F、E、M共線時，易證∠DEA=∠DEM=67.5°，

在MD上取一點J，使得ME=MJ，連接EJ，

∵∠MEJ=∠MJE=45°，

∴∠JED=∠JDE=22.5°，

∴EJ=JD，設(shè)AE=EM=MJ=x，則EJ=JD=x，

則有x+x=4，

∴x=4-4，

∴AE=4-4故②正確，

③如圖3中，連接EC，CF，當(dāng)EF=CE時，設(shè)AE=AF=m，

則有：2m2=42+（4-m）2，

∴m=4-4或-4-4（舍棄），

∴AE=4-4，故③正確，

④如圖4中，當(dāng)OF=OC時，設(shè)AE=AF=n．

∵∠FDC=90°，OF=OC，

∴OF=OD，

∴∠OFD=∠ODF，

∴tan∠CFD=tan∠EDA，

，=，

∴n=2-2或-2-2（舍棄），

∴AE=2-2，故④正確．

故選：A．