Question

【題目】△ 中， ．取 邊的中點 ，作 ⊥ 于點 ，取 的中點 ，連接 ， 交于點 ．
（1）如圖1，如果 ，求證： ⊥ 并求 的值；

（2）如圖2，如果 ，求證： ⊥ 并用含 的式子表示 .

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，連接AD，

∵AB=AC，點D是BC的中點，

∴∠ABC=∠C，∠BAD=∠DAC= ∠BAC，AD⊥BC，

∵AD⊥BC，DE⊥AC，

∴∠ADE+∠CDE=90°，∠C+∠CDE=90°，

∴∠ADE=∠C．

又∵∠ADB=∠DEC=90°，

∴△ADB∽△DEC，∴ ，即ADCE=BDDE．

∵點D是BC的中點，點F是DE的中點，

∴BD= BC，DE=2DF，

∴ADCE═ BC2DF=BCDF，

∴ ，

又∵∠ADE=∠C，

∴△AFD∽△BEC，

∴ ，在Rt△ADB中，

∵∠ABD=90°-∠BAD=90°- ∠BAC，BD= BC，

∴tan∠ABD=tan（90°- ∠BAC）= ，

∴ = tan（90°- ∠BAC）．

∵△AFD∽△BEC，

∴∠DAF=∠CBE．

∵∠CBE+∠BOD=90°，∠AOH=∠BOD，

∴∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，

∴∠AHO=180°-90°=90°，即∠AHB=90°

根據(jù)以上結(jié)論可得：∠AHB=90°， = tan（90°- ×90°）= ；∴AF⊥BE， =

（2）解：如圖2，

根據(jù)以上結(jié)論可得：∠AHB=90°， = tan（90°- α）；∴AF⊥BE， = tan（90°- α）

【解析】（1）由AB=AC，點D是BC的中點，根據(jù)三線合一，得到AD⊥BC，由DE⊥AC，根據(jù)同角的余角相等，得到∠ADE=∠C；得到△ADB∽△DEC，得到比例，即ADCE=BDDE；由已知得到ADCE=BCDF，又∠ADE=∠C，得到△AFD∽△BEC，得到比例，在Rt△ADB中，根據(jù)三角函數(shù)定義，得到∠DAF=∠CBE，由三角形內(nèi)角和定理求出∠AHO=90°，即∠AHB=90°，根據(jù)以上結(jié)論可得
【考點精析】掌握相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的根本，需要知道相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．