Question

【題目】如圖，在中，點(diǎn)是邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線．設(shè)交的平分線于點(diǎn)，交的外角平分線于點(diǎn)，連接、．那么當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形是矩形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)（或）時(shí)，四邊形是矩形，證明詳見解析.

【解析】

當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)（或OA=OC）時(shí)，四邊形AECF是矩形．由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行線的性質(zhì)有∠1=∠3，等量代換有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可證四邊形AECF是平行四邊形，又CE、CF分別是∠BCA及其外角的角平分線，易證∠ECF是90°，從而可證四邊形AECF是矩形．

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)（或）時(shí)，四邊形是矩形．

證明：∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

同理，，

∴，

又∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵是的外角平分線，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴平行四邊形是矩形．