Question

【題目】如圖，△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACD的平分線相交于點E，BE交AC于點F，過點E作EG∥BD交AB于點G，交AC于點H，連接AE，有以下結論：

①∠BEC=∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG=CH+GH；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正確的結論有_____（將所有正確答案的序號填寫在橫線上）．

Answer 1

【答案】①③④.

【解析】

①根據(jù)角平分線的定義得到∠EBC=∠ABC，∠DCE=∠ACD，根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到結論；
②根據(jù)相似三角形的判定定理得到兩個三角形相似，不能得出全等；
③由BG=GE，CH=EH，于是得到BG-CH=GE-EH=GH．即可得到結論；
④由于E是兩條角平分線的交點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出點E到BA、AC、BC和距離相等，從而得出AE為∠BAC外角平分線這個重要結論，再利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)與外角性質(zhì)進行角度的推導即可輕松得出結論．

①BE平分∠ABC，

∴∠EBC=∠ABC，

∵CE平分∠ACD，

∴∠DCE=∠ACD，

∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠DCE=∠CBE+∠BEC，

∴∠EBC+∠BEC= (∠BAC+∠ABC)=∠EBC+∠BAC，

∴∠BEC=∠BAC，故①正確；

∵②△HEF與△CBF只有兩個角是相等的，能得出相似，但不含相等的邊，所以不能得出全等的結論，故②錯誤；

③BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∵GE∥BC，

∴∠CBE=∠GEB，

∴∠ABE=∠GEB，

∴BG=GE，

同理CH=HE，

∴BGCH=GEEH=GH，

∴BG=CH+GH，

故③正確；

④過點E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如圖，

∵BE平分∠ABC，

∴EM=ED，

∵CE平分∠ACD，

∴EN=ED，

∴EN=EM，

∴AE平分∠CAM，

設∠ACE=∠DCE=x，∠ABE=∠CBE=y，∠MAE=∠CAE=z，如圖，

則∠BAC=1802z，∠ACB=1802x，

∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180，

∴2y+1802z+1802x=180，

∴x+z=y+90，

∵z=y+∠AEB，

∴x+y+∠AEB=y+90，

∴x+∠AEB=90，

即∠ACE+∠AEB=90，

故④正確.

故答案為：①③④.